Supongo que le resulta sorprendente porque parece que la condición de convexidad es más fuerte, y la implicación inversa debería haber sido cierta. Entonces, quizás se esté preguntando ¿cómo puede algo que satisface condiciones más simples (conjuntos afines) en realidad resultar para satisfacer algo que involucra una condición más fuerte (convexidad)? Si de hecho este es tu dilema, intentaré arrojar luz sobre esto.
Expresando sus ecuaciones en palabras, un conjunto afín requiere que cada combinación afín de sus puntos (pesos que se suman a la unidad) se encuentre en el conjunto, mientras que un conjunto convexo requiere que cada combinación convexa de sus puntos (pesos no negativos que se suman a la unidad) se encuentre en el conjunto conjunto.
Ahora, una combinación afín es una condición más simple que la combinación convexa y, como consecuencia, el conjunto de todas las combinaciones convexas de una colección de puntos (que es una condición más fuerte) es un subconjunto estricto de todas las combinaciones afines de la misma colección.
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Por lo tanto, si necesita que todas las combinaciones afines de puntos pertenezcan al conjunto, también requiere que todas las combinaciones convexas pertenezcan al conjunto. Por lo tanto, los conjuntos afines son convexos.
PD: El conjunto de todas las combinaciones afines de dos puntos es la línea que une los dos puntos y el conjunto de todas las combinaciones convexas de dos puntos es el segmento de línea que une los dos puntos. Esta es la base de la intuición geométrica proporcionada por todas las otras respuestas. Quería proporcionar una visión complementaria al adivinar la perspectiva que puede estar buscando.
