Tenga en cuenta que,
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2 ^ {k} + 1} = \ frac {1} {2 ^ {k} – 1} – \ frac {2} {2 ^ {2k} – 1} [ /matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ k + 1} = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ {k} – 1} – \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {2} {2 ^ {2k} – 1} [/ math]
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[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ k + 1} = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ {k} – 1} – 2 \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {4 ^ k – 1} [/ math]
El RHS consta de la serie Lambert que se puede escribir como,
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ k + 1} = \ frac {\ ln 2 – \ psi_ {1/2} (1)} {\ ln 2} – 2 \ frac {\ ln 4 – \ ln 3 – \ psi_ {1/4} (1)} {\ ln 4} [/ matemáticas]
donde [math] \ psi_ {q} (z) [/ math] es la función q-Polygamma. Por lo tanto,
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ k + 1} = \ frac {1} {2} + \ frac {\ ln 2 – \ psi_ {1 / 2} (1)} {\ ln 2} – 2 \ frac {\ ln 4 – \ ln 3 – \ psi_ {1/4} (1)} {\ ln 4} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ psi_ {1/4} (1) – \ psi_ {1/2} (1) + \ ln 3} {\ ln 2} – \ frac {1} {2} [ /matemáticas]
Esta es una forma tan cercana como podemos obtener en mi humilde opinión.
Como John Challis señaló en los comentarios, escribir la serie en términos de q-polygamma realmente no nos compra una convergencia rápida mientras se realiza el cálculo numérico. Para ese propósito, podemos utilizar la siguiente serie de Ramanujan:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {e ^ {kx} + 1} = \ frac {\ ln 2} {x} – \ frac {1} {4 } + \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {(2 ^ {2k} – 1) B_ {2k} ^ 2 x ^ {2k – 1}} {(2k) (2k)!} + R_n [/ matemáticas]
donde [matemáticas] | R_n | \ leq \ frac {| B_ {2n} B_ {2n + 2} | x ^ {2n}} {(2n)!} \ left (\ frac {x ^ 2} {4 \ pi ^ 2} + \ frac { \ pi ^ 2} {6} + 2 ^ {2n + 1} \ left (\ frac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} + \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ right) \ right) [/matemáticas]
Sustituyendo [math] x = \ ln 2 [/ math] y agregando [math] \ frac {1} {2} [/ math] obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ {k} + 1} = \ frac {5} {4} + \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {(2 ^ {2k} – 1) B_ {2k} ^ 2 (\ ln 2) ^ {2k – 1}} {(2k) (2k)!} + R_n [/ matemáticas]
donde [matemáticas] | R_n | = O \ left (\ frac {1} {(2n)!} \ Right) [/ math]
Si solo usamos [math] n = 5 [/ math], ya estaremos muy cerca del término final en comparación con los primeros cinco términos de la serie original.