Bueno, hay dos formas de responder tu pregunta. Todos dependen de cómo entiendes la palabra «verdadero».
Denotaremos nuestra teoría lógica (un cálculo) como [math] \ mathfrak {T} [/ math] y el conjunto de todas las fórmulas en el lenguaje de la teoría como [math] \ mathbf {F} [/ math].
La verdad de una teoría como adecuación semántica
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Una teoría (toda lógica podría construirse como una teoría) es semánticamente adecuada si:
- Está completo, es decir, cada declaración verdadera puede deducirse de sus axiomas. Esto se denota de la siguiente manera: [math] \ forall A (A \ in \ mathbf {F} \ Rightarrow (\ vDash A \ Rightarrow \ vdash _ {\ mathfrak {T}} A))
[/ math] Por ejemplo, Gödel probó la integridad del cálculo de predicados de primer orden. - Es consistente, es decir, solo se pueden deducir afirmaciones verdaderas. [math] \ forall A (A \ in \ mathbf {F} \ Rightarrow (\ vdash _ {\ mathfrak {T}} A \ Rightarrow \ vDash A)) [/ math].
La verdad de una teoría como adecuación sintáctica
Una teoría (y toda lógica podría construirse como una teoría) es sintácticamente adecuada si:
- Es sintácticamente consistente, es decir, no se puede deducir en [math] \ mathfrak {T} [/ math] tanto [math] A \ in \ mathbf {F} [/ math] como [math] \ neg A \ in \ mathbf { F} [/ matemáticas].
- Es máxima, es decir, uno no puede adjuntar alguna fórmula (o un esquema de una fórmula, si tenemos un cálculo axiomatizado a través de esquemas de axiomas) que no puede deducirse de sus axiomas y aún así obtener una teoría consistente.
Por ejemplo, se sabe que el cálculo proposicional es una teoría máxima. Por otro lado, el cálculo de predicados de primer orden no lo es.
Esto significa que uno puede tener teorías consistentes expresadas en lenguajes de primer orden, sin embargo, las únicas teorías consistentes escritas en lenguajes proposicionales son lógicas proposicionales (es decir, teorías sin axiomas no lógicos).
Hay un resultado importante de que una teoría construida sobre la lógica clásica es semánticamente consistente si es sintácticamente consistente. Por otro lado, hay lógicas paraconsistentes que, por supuesto, no son sintácticamente consistentes, aunque sí son semánticamente consistentes. Esto se debe a la falta de principio de explosión: [matemáticas] A \ wedge \ neg A \ vdash B [/ matemáticas].