Primero, observe algunas cosas:
- [matemáticas] \ ln (\ frac {1 + t ^ 3} {t}) = \ ln (1 + t ^ 3) – \ ln (t) [/ matemáticas]
- para t pequeño, [matemáticas] \ ln (1 + t ^ 3) \ aprox t ^ 3 [/ matemáticas]
usando estos hechos, obtenemos:
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ int_0 ^ {1 / n} \ ln (\ frac {1 + t ^ 3} {t}) dt [/ matemáticas]
- ¿Cómo podrían los profesores como Tim Roughgarden y Andrew NG memorizar tantas pruebas y de qué sirve memorizar las pruebas?
- Suponga que está ubicado en el centro exacto de un cubo y se mueve hacia una de las paredes y ahora está a medio camino entre él y el centro del cubo. ¿Qué fracción de su campo de visión ahora ocupa el muro más cercano?
- Si necesita álgebra para elegir un urinario, ¿es algo de lo que estar orgulloso, en lugar de solo un defecto menor?
- ¿Cuáles son algunas de las afirmaciones y características más comunes de los matemáticos de manivela?
- ¿Con qué precisión se pueden aproximar las funciones de alta dimensión usando la suma de cosenos / senos? ¿Hay algún límite?
[math] = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ int_0 ^ {1 / n} \ ln (1 + t ^ 3) – \ ln (t) dt [/ math]
[matemáticas] \ aprox \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ int_0 ^ {1 / n} t ^ 3- \ ln (t) dt [/ matemáticas]
tomando las integrales:
[matemáticas] = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {4 * n ^ 4} – \ frac {- \ ln (n) -1} {n} [/ matemáticas]
sabemos que [math] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty [/ math] [math] \ frac {1} {4 * n ^ 4} [/ math] converge. De hecho, es [matemáticas] \ frac {\ pi ^ 4} {360} [/ matemáticas], por lo que podemos dejar esa parte sola por ahora.
[matemática] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ ln (n) +1} {n} [/ matemática], sin embargo, diverge claramente en comparación con la serie armónica.
Así toda la serie diverge
nota: para ser riguroso, debería haber señalado el error al aproximar [matemáticas] \ ln (1 + t ^ 3) [/ matemáticas] por [matemáticas] t ^ 3 [/ matemáticas].
Hay muchas otras formas de resolver este problema. La integral en realidad tiene una forma cerrada que no es demasiado terrible para trabajar (pero tampoco es agradable), por lo que puede evaluar eso y mostrar que la suma resultante diverge. También puede, como era mi plan inicial, usar el teorema del valor medio de una manera inteligente. Sin embargo, eso se vuelve un poco complicado y no estoy seguro de qué tan familiarizado está con ese tipo de metodología, así que pensé que el enfoque anterior sería el mejor.
