Hay algunas formas comunes de mostrar que algo no se puede probar en PA:
- Implica la consistencia de PA. Según el teorema de incompletitud de Gödel, PA no puede probar la consistencia de PA.
- Ofrece un ordenamiento correcto del tipo [math] \ epsilon_0 [/ math] (definición). Según la prueba de consistencia de Gentzen, una vez que tenga [math] \ epsilon_0 [/ math], puede probar la consistencia de PA, y luego se aplica (1).
- Proporciona una función con tasa de crecimiento [matemática] f _ {\ epsilon_0} [/ matemática] o superior desde la jerarquía de rápido crecimiento. Se ha demostrado que PA no puede probar la totalidad de una función que crece tan rápido.
(3) es el más fácil de aplicar en el caso del teorema de Goodstein. Sea F (n) el número de pasos necesarios para llegar a 0 para la secuencia de Goodstein que comienza con n. Se puede demostrar que F (n) crece de manera similar a [math] f _ {\ epsilon_0} (n) [/ math]. La prueba es demasiado técnica para una respuesta de Quora, pero en términos generales, los pasos que definen la secuencia de Goodstein de n son muy similares a los pasos utilizados para evaluar [matemáticas] f_ \ alpha [/ matemáticas], donde [matemáticas] \ alfa [/ math] se acerca a [math] \ epsilon_0 [/ math] a medida que n crece. Si PA pudiera probar que la secuencia de Goodstein siempre terminaba, entonces PA probaría la totalidad de F (n), que no es posible por (3).
Si desea todos los detalles para este argumento, un texto de referencia es Teoría de la prueba: Segunda edición de Gaisi Takeuti, Sección 12.
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La prueba original de la independencia del teorema de Goodstein por Paris y Kirby no utiliza (3), sino más bien algunas técnicas de teoría de modelos. Está disponible en línea aquí: http://www.cs.tau.ac.il/~nachumd…
