Obviamente, las funciones exponenciales de algún tipo son útiles. Por ejemplo, la función [matemáticas] f (x) = 2 ^ x [/ matemáticas] describe lo que sucede cuando tienes una población de bacterias que se duplica cada hora, y la función [matemáticas] g (x) = 2 ^ {- x / t_ {1/2}} [/ math] describe lo que sucede cuando una sustancia se descompone con una vida media [math] t_ {1/2} [/ math]. Y obviamente el cálculo también es útil. Si quisiéramos saber qué tan rápido está creciendo una población que crece o decae exponencialmente en este momento, tomaríamos la derivada.
Veamos qué sucede cuando intentamos tomar la derivada de [math] f (x) = 2 ^ x [/ math]:
[matemáticas] f ‘(x) = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ frac {f (x + \ Delta x) – f (x)} {\ Delta x} [/ matemáticas]
- Si x, y> 0 y L <xy, demuestre que hay un número entero positivo n, tal que L <(x- (1 / n)) (y- (1 / n)).
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- 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 = 256 luego 9 ^ 9 ^ 9 ^ 9 =?
[matemáticas] = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ frac {2 ^ {x + \ Delta x} – 2 ^ x} {\ Delta x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ frac {2 ^ x (2 ^ {\ Delta x} – 1)} {\ Delta x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 ^ x \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ frac {2 ^ {\ Delta x} – 1} {\ Delta x} [/ matemáticas]
Aquí he sacado el [math] 2 ^ x [/ math] del límite porque no depende de [math] \ Delta x [/ math]. Ahora, mira lo que queda dentro del límite. No depende de [matemáticas] x [/ matemáticas], por lo que hay dos posibilidades: el límite diverge o converge a algún número en particular. En el primer caso, esto diría que [math] f ‘(x) [/ math] no existía, pero eso no puede ser correcto, solo mire la gráfica de [math] 2 ^ x [/ math] y dime que no es suave: 
(Imagen cortesía de Wolfram | Alpha)
Entonces, este límite debería converger a algún número, al que llamaré [math] \ gamma_2 [/ math] por el momento. Entonces podemos reescribir esto como
[matemáticas] f ‘(x) = \ gamma_2 2 ^ x [/ matemáticas].
(Puse el 2 allí porque estamos viendo [matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas]) Podemos intentar obtener una estimación aquí conectando, digamos, [matemáticas] \ Delta x = 1/100 [/ matemáticas] , en cuyo caso obtendríamos
[matemáticas] \ gamma_2 \ aprox \ frac {2 ^ {1/100} – 1} {1/100} = 0.6955 \ ldots [/ matemáticas]
Por lo tanto, no parece que tengamos suerte aquí: [math] \ gamma_2 [/ math] no parece un buen número que ya conozcamos.
Por supuesto, si en lugar de mirar [matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] miramos [matemáticas] h (x) = n ^ x [/ matemáticas], el cálculo sería básicamente el mismo. Es decir, tendríamos [math] h ‘(x) = \ gamma_n n ^ x [/ math], donde
[matemáticas] \ gamma_n = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ frac {n ^ {\ Delta x} + 1} {\ Delta x} [/ matemáticas]
Entonces descubrimos que cada vez que tomas una derivada de una función exponencial, esa derivada es la función exponencial misma, multiplicada por algún factor misterioso [math] \ gamma_n [/ math]. Solo por diversión, vamos a aproximar [math] \ gamma_3 [/ math]. Claramente [math] \ gamma_3 [/ math] va a ser más grande que [math] \ gamma_2 [/ math], ya que cambiar el 2 a un 3 hizo que todos los términos correspondientes en el límite sean más grandes. Y de hecho, vemos que
[matemáticas] \ gamma_3 \ aprox \ frac {3 ^ {1/100} – 1} {1/100} = 1.0986 \ ldots [/ matemáticas]
Sin embargo, esto es interesante. [math] \ gamma_2 [/ math] era menor que 1, y [math] \ gamma_3 [/ math] era mayor que 1, y sabemos que [math] \ gamma_n [/ math] aumenta cuando aumentamos n . Bajo algunos supuestos relativamente leves [1], debería haber algún número entre 2 y 3, llamémoslo e , para el cual [math] \ gamma_e = 1 [/ math], es decir, para el cual [math] e ^ x [/ math ] es su propia derivada.
Y, por supuesto, resulta que hay tal número. Además, esto desmitifica [math] \ gamma_n [/ math], porque no es difícil calcular que [math] e ^ {\ gamma_n} = n [/ math]. En otras palabras, esto dice que [math] \ gamma_n [/ math] es solo el logaritmo de base e de n .
Por supuesto, en realidad solo hay una función exponencial hasta la escala, porque, por ejemplo, [matemáticas] 2 ^ x = (3 ^ {(\ log_3 2)}) ^ x = 3 ^ {(\ log_3 2) x} [ / math] por reglas básicas de exponente. Entonces, si tenemos un buen manejo de una función exponencial particular, digamos [math] e ^ x [/ math], podemos traducir esto a una comprensión completa de todas las funciones exponenciales usando herramientas de cálculo básicas como la regla de la cadena.
Es decir, usar la base e simplifica sustancialmente nuestra imagen de la interacción entre el cálculo y la exponenciación, sin perder sutilezas en el proceso.
[1] A saber: que tiene sentido definir [matemáticas] n ^ x [/ matemáticas] para un número real arbitrario n interpolando entre los casos en que n es racional, y que cuando haces esto [matemáticas] \ gamma_n [/ matemática] resulta ser una función continua de n.
