Varios objetos en matemáticas pueden expresarse como una combinación de otros objetos, posiblemente con factores de ponderación. Entonces, por ejemplo, se puede decir que el noreste es una combinación de un poco de norte y un poco de este. Si no se puede decir que dos objetos contienen ninguno de los otros, entonces los dos son ortogonales. Entonces, el norte es ortogonal al este, y el noreste es ortogonal al noroeste.
Los objetos más comunes involucrados son vectores y funciones. El ejemplo con las instrucciones anteriores es el caso del vector. La manera eficiente de determinar si dos vectores son ortogonales es multiplicarlos con el producto de puntos vectoriales y ver si la respuesta es cero. Si es así, entonces los dos son ortogonales.
Tomando el ejemplo de las direcciones, expresemos cualquier dirección solo en términos de norte y este. Entonces, el oeste es menos el este, y el noreste es el norte más el este veces un factor de escala que podemos ignorar con seguridad. El noroeste es el norte menos el este. Para tomar el producto escalar del noreste y del noroeste, multiplicamos los coeficientes del norte, multiplicamos los coeficientes del este y sumamos los dos. Eso da (1 x 1) + (1 x -1) que da cero, por lo que el noreste y el noroeste son ortogonales.
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Ahora veamos el caso de las funciones. Supongamos que tomamos y = sen x como la primera función, y y = cos x como la segunda. La forma de ver si son ortogonales es multiplicar los dos juntos por cada valor de x, dando una nueva función y = sen x cos x. Si el valor promedio de esta nueva función es cero, entonces las funciones son ortogonales. En este caso, lo son!
Si lo observa detenidamente, puede ver que las pruebas de ortogonalidad para vectores y funciones son en realidad las mismas. Solo piense en los vectores como largas filas de números. Una dirección en un plano como el noreste toma dos números para describirlo, mientras que sen x toma un número infinito, uno para cada valor posible de x, pero ambos son solo filas de números. Tomamos el producto punto de dos de estos y si la respuesta es cero, entonces las dos entradas fueron ortogonales.
La ortogonalidad es importante por varias razones, pero para dar un ejemplo, la usa al elegir sistemas de coordenadas. Entonces, elegí el norte y el este como base para describir las direcciones porque estos dos son ortogonales. No quisiera elegir decir oeste y noreste, porque cuando trato de describir otra dirección en términos de ellos, habría más de una forma de hacerlo, lo que lo hace bastante confuso.
