¿Qué se siente al tomar Math 55 de Harvard, la “clase de matemáticas de pregrado más difícil del país”, que enseña cuatro años de matemáticas en dos semestres?

¡Fue muy divertido! Fue una de las experiencias más gratificantes en Harvard y desearía que hubiera más clases como esta en otros campos.

Tomé la clase en 2001-2002. El primer día, aparecieron unos cincuenta estudiantes, y el número decayó exponencialmente hasta tocar el piso a las diez. De ellos, la mayoría asistió a una Olimpiada Internacional, por lo que era un grupo realmente único de compañeros de clase. Otro placer fue que durante el segundo semestre del curso, el TF fue un famoso competidor de la Olimpiada y ahora un experto matemático de investigación, Ciprian Manolescu.

He visto algunos comentarios sobre la clase que abarca cuatro años de matemáticas de pregrado en un año; No estoy seguro de que sea así. Prefiero decir que es una inmersión bastante profunda en Análisis y Álgebra, comenzando con los primeros principios y yendo hasta y posiblemente más allá de una clase introductoria de nivel de posgrado. Hay libros de texto listados para el curso, pero generalmente el profesor que está enseñando no sigue ningún texto en particular, por lo que si se pierde una conferencia, puede ser difícil saber lo que se perdió. Recuerdo algunas veces cuando no entendí algo en una conferencia y busqué en Google los conceptos, las únicas referencias que encontré fueron notas para cursos introductorios o incluso avanzados de matemáticas de posgrado en otras universidades. Creo que este aspecto hace que Math 55 sea posiblemente el curso de matemáticas de pregrado más difícil en los Estados Unidos. Por otro lado, el curso no cubre otras áreas de las matemáticas de pregrado, como la teoría de números, la probabilidad o la combinatoria.

Estas notas de las conferencias, aunque diferentes del año en que tomé el curso, siguen siendo una muy buena muestra de cómo era el material:

http://www.math.harvard.edu/~ctm…

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No es difícil, si sabes cómo probar las cosas, pero si aún no sabes las pruebas antes de comenzar, simplemente no debes tomarlo. No aprenderá cómo probar las cosas rigurosamente en las primeras dos semanas antes de que venza el primer conjunto de problemas. Si espera aprender el material de la clase, no lo haga. Aprende un año o dos antes de entrar, será una revisión alegre con buenos compañeros y te presentará cosas nuevas.

Debido a que la clase asume familiaridad con pruebas rigurosas, en su mayoría consistió en estudiantes de primer año de escuelas aceleradas, que estuvieron expuestos a pruebas en la escuela secundaria. Era uno de los pocos estudiantes de escuelas públicas, pero sabía todo sobre lectura independiente, así que estaba mucho mejor preparado que los estudiantes de escuelas especiales. La clase es simplemente otro método estúpido de selección social: tome una cierta fracción de los estudiantes de pregrado y deles una atención especial, y acéptelos para el Putnam (Harvard se lo toma en serio) y para una carrera en matemáticas. Es un método de selección de talento que está roto, como todos los demás métodos.

Si toma la clase, por el bien de su TA, no escriba pruebas rigurosas en su totalidad. Muchos estudiantes escriben las soluciones en forma de teorema de lemas, demostrando todo desde el fondo. Yo hice esto también. Esto hace que su problema sea ENORME. No necesita probar la conmutatividad de la suma de enteros. Debe aprender cuál es la idea principal de la prueba y qué se puede dar por sentado. Esto no es tan fácil de hacer en una clase de prueba de pregrado, donde casi todas las pruebas son de hechos obvios.

Mi queja en retrospectiva es que la clase no enfatizó lo suficiente las habilidades computacionales: usted aprende álgebra lineal sin tener que practicar con la reducción de filas o cualquier otro procedimiento de memoria. No son conceptualmente difíciles, pero son útiles y requieren práctica, y esto es más útil para estudiantes de pregrado que memorizar alguna ruta especialmente seleccionada (tan buena como cualquier otra) a través del desarrollo riguroso. Yo personalmente ya había hecho algo de álgebra lineal práctica, por lo que no fue un gran problema para mí, y asumí que todos los demás eran iguales, pero ahora me doy cuenta de que eso no es cierto. Los otros estudiantes no hicieron absolutamente ninguna lectura matemática antes de tomar la clase, y para ellos, no fueron suficientes ejercicios computacionales. Por lo tanto, a menudo hay brechas terribles en el conocimiento de la gente de matemáticas 55 porque saben cosas abstractas sin suficiente cálculo sucio. Además, tienden a ser arrogantes al ser seleccionados como especiales, y esto los hace inútiles. Tal vez me salvó el hecho de que quería ser físico, por lo que no me importaban los matemáticos, más allá de la caza furtiva de sus métodos y el entrenamiento de mi cerebro.

Para aprender a demostrar las cosas con el fin de ingresar a la clase y hacerlo bien, es suficiente familiarizarse con el material en algunos libros de texto rigurosos estándar de pregrado, leí Cálculo de Lang, topología de Mukres, algunos libros sobre Relatividad general, y la mecánica cuántica de Dirac, y esto fue mucho más que suficiente, hizo que la clase fuera aburrida, al menos después del segundo conjunto de problemas. La clase solo cubre material que es una tarifa estándar de pregrado en cualquier otro lugar, excepto rigurosamente. No puedo enfatizar esto lo suficiente, no hay magia, no hay nada en el plan de estudios que esté más allá del cálculo multivector estándar de pregrado, álgebra lineal, excepto que, por supuesto, necesitas probar todo. La única magia está en un lado ocasional por parte del instructor, o un tema especial.

El instructor de mi año fue Noam Elkies, quien tiene una maravillosa visión de la enseñanza de pregrado. Presentó una extraña introducción a la integración riemanniana que desarrolla la teoría de la medida finitamente aditiva en lugar de hacer sumas de Riemann. Es equivalente, y quizás un poco más limpio. En retrospectiva, solo desearía que hubieran ido directamente a la integración de Lebesgue, no tenía sentido aprender una medida aditiva finita por separado. También recuerdo que se asignó el libro de Koerner sobre las transformadas de Fourier, y lo leí de principio a fin, porque es un gran libro. Las conferencias sobre la prueba de Fejer y el algoritmo FFT se destacan en mi mente como particularmente perspicaces, todavía no tengo problemas para escribir una rutina FFT cuando la necesito. El resto se pierde en mi memoria.

Lo tomé en 1992 y también lo hice con TA en 1993. Si bien tengo recuerdos felices de la clase cuando lo tomé, la fase de TA fue difícil. ¡Yo era un estudiante de segundo año de TAing 40 de primer año! Eso fue aproximadamente el doble de estudiantes en mi año. Y tuve que tomar 3 clases de pregrado más 2 clases de posgrado cada semestre ese año, por lo que mi carga de trabajo era aproximadamente el doble que la de un estudiante de posgrado, aproximadamente 10 problemas cada semana para matemáticas-55, lo que significa que tenía que escribir soluciones limpias para los problemas, y tenía que leer 400 pruebas de mierda enormemente largas para aficionados cada semana, además de hacer 2 series de problemas de posgrado, 2 series de problemas de pregrado y un montón de lecturas para cualquier curso básico de humanidades que me obligaron a tomar ese semestre. Fue demasiado. El pago de un TA de pregrado también era ridículo, era maní. Pero fue mejor que limpiar inodoros, que es lo que hice mi primer año.

En el segundo semestre, la clase cubrió formas diferenciales, mientras que introduje el análisis tensorial en la sección, para explicar cuáles eran realmente. Eso fue un error, a los estudiantes no les gustó, y tampoco apreciaron que tradujera todo al lenguaje tensorial y luego lo volviera a traducir a los formularios. Pero esa fue la única colisión real entre el instructor y yo. El resto del curso fue fácil, porque era un subconjunto de lo que cubría Elkies.

También recuerdo haber cometido un error en una de mis primeras secciones: dije que una prueba no requería elección, porque podía ver la construcción más o menos, pero un estudiante brillante dijo “estás eligiendo una secuencia”, y yo dije “oh sí, supongo que requiere elección”. Hoy, haría la distinción entre elección contable e incontable, pero en ese momento no lo hice. Aparte de eso, recuerdo haber tenido dificultades para presentar pruebas, porque había practicado presentar las pruebas en mi cabeza para aprender el material.

TA’ing el conjunto de problemas significa que tienes que encontrar los errores en todos ellos. Esto tomó mucho tiempo. Me hizo perder el sueño y tirar toda la noche tras toda la noche. Mi vida social se desintegró y creo que me volví un poco loco. Me pasearía por Harvard Square a las 4 de la madrugada para comprar hamburguesas en “The Tasty” (ahora desaparecido), y hacer amigos con personas sin hogar, antes de volver a mi dormitorio. Pero a los estudiantes les caí bien, porque tenía una edad cercana a ellos, conocía todas las trampas de la clase, probé bien las cosas en la sección porque me preparé bien, y en realidad leí y entendí cada una de sus pruebas, y lo comenté. . Además, me aseguraría de que si hubiera una idea original perspicaz en una de sus pruebas, le daría más que crédito completo, para que también obtuviera crédito por parte de un problema que no hizo, porque tenía un original idea en otro lugar. Los estudiantes apreciaron esto. También expliqué las pruebas de los primeros principios, de una manera muy rigurosa en la que realmente estaba metido en aquel entonces. Todos los estudiantes dijeron que fui muy útil, y esto fue gratificante.

Lo único que aprendí de TA’ing en esa clase fue cómo leer muy rápido las pruebas de mierda y encontrar el error (si lo hubiera), y esta fue una buena habilidad para desarrollar. Esta fue probablemente la primera vez que adquirí habilidad para leer y evaluar rápidamente las pruebas matemáticas, de TAing, no de tomar la clase. Tomar clases es inútil para esto.

Recuerdo algunos problemas del primer año, pero solo de un conjunto de problemas, el primero en matemáticas55 propiamente dicho. Primero, había un problema superficialmente trivial con respecto a los dobles del espacio vectorial que requería el axioma de elección para resolver en el caso de dimensión infinita. Elkies y el TA me dijeron que no requería elección, pero seguí diciéndoles que pensaba que sí, porque lo que intenté sin elección no funcionó. Después de interrumpirme un rato, se dieron cuenta de que requería elección, por lo que obtuve una inmerecida reputación de ser realmente inteligente. Hablé con Dylan sobre esto, y él me dijo por qué algunas personas no creen en la elección, los principios constructivos y todo eso, aunque trató de dejar en claro que no era una de esas personas. Esto me causó una gran impresión, de inmediato abracé lo constructivo. Reevalué la prueba de la buena ordenación de los reales, y me di cuenta de que no tiene sentido. Leí “análisis constructivo”. Eventualmente sospeché de todas las matemáticas clásicas cuando tomé un curso de análisis real de posgrado, y abandoné las matemáticas durante otra década más o menos, antes de aprender algo de lógica. Por lo tanto, debe hacer las paces con el axioma de elección, y el libro de Cohen “La teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo” es realmente la única forma de hacerlo.

Este conjunto de problemas tenía 9 problemas, todos los cuales eran buenos acertijos matemáticos: eran cosas genuinamente interesantes. Ni siquiera eran cosas de nivel de posgrado, pero eran desafiantes. Una de las más fáciles que recuerdo fue mostrar que la dualidad del espacio vectorial de eventualmente secuencias de cero reales era más grande que el espacio en sí. Esto recuerdo haberlo hecho al encontrar un conjunto incontable linealmente independiente. Había otro problema directo, que pedía calcular el número de bases de un espacio vectorial n-dimensional sobre Z mod p, era una simple combinatoria, pero me llevó un tiempo averiguar qué se estaba preguntando (esto era la mitad de la batalla en los días previos a internet). Resolví todos los problemas excepto el número 8, que me dejó perplejo. El problema requería mostrar que en Z mod 2 (el campo con dos elementos) la diagonal de una matriz simétrica está en el tramo de los vectores de columna. La idea clave se presentó en una conferencia, pero había que tomar notas. Fue un problema difícil para los estudiantes de pregrado. Más tarde descubrí que una matriz simétrica en Z mod 2 es realmente una matriz antisimétrica también, esa es la idea clave. Este fue un buen problema, fue el último buen problema.

Recuerdo ser infeliz porque no resolví todos los problemas en ese conjunto de problemas. Pero luego, cuando regresó, la media en ese conjunto de problemas era 2 de 9, lo que significa que 2 problemas se resolvieron de 9, y tuve 8 de 9, perdiendo ese estúpido problema Z mod 2. Se le dijo a Noam Elkies que lo atenuara con dificultad, y desafortunadamente lo hizo. El resto de los problemas planteados ese año fueron un montón de ejercicios estándar aburridos extremadamente sencillos, con un buen problema ocasional.

La otra experiencia que se me quedó en la mente fue el primer conjunto de problemas de matemática-25, antes de que la clase se dividiera en matemática-55, que fue trivialmente fácil. Sabía cómo resolver todos los problemas de inmediato, pero quería socializar con algunas de las chicas de la clase. Entonces me uní a un grupo de estudio con 2 alumnas. Pensé que sería tonto por un tiempo, mientras debatían cómo resolver el problema, y ​​luego decía “¡Oye! ¡Tengo una idea! Tal vez hagas esto …”. y explique la solución trivial correcta obvia, pretendiendo no verlo todo de una vez, y de esta manera, impresionarlos.

Así que fuimos a una habitación en la biblioteca, y comenzaron a parlotear sobre sus estúpidas ideas totalmente equivocadas sobre cómo resolver el problema. Fingí escuchar durante 5 minutos, asintiendo con la cabeza ante todas las estupideces equivocadas, luego dije “¡Oye, tengo una idea! ¿Por qué no intentamos esto …?” Y luego expliqué la respuesta en 2 líneas. Luego me sentaba de la pizarra y mi perspicacia los asombraba. Ese era el plan, de todos modos.

Lo hice con uno de los problemas. Y me senté al final, y pensé que estaban asombrados por la brillantez (porque sabía las respuestas, los problemas eran muy fáciles). En cambio, solo se miraron el uno al otro de una manera divertida. Entonces una de las chicas dijo “intentemos con otra …”, y les dejé hablar con su ignorante bromas, luego me puse de pie en la pizarra, les expliqué el problema clara y completamente, y me senté.

La respuesta fue: “Ok, creo que deberíamos disolver el grupo de estudio”. Dije “Ok” y me fui a escribir las soluciones por mí mismo. Me llevó una o dos horas, y cuando terminé, caminé por la habitación y los vi a los dos allí, ¡discutiéndolo sin mí!

Me pregunté por qué disolvieron el grupo y lo reformaron sin mí, luego lentamente me di cuenta. ¡Pensaron que estaba lleno de mierda! ¡No solo eran demasiado estúpidos para resolver los problemas, eran demasiado estúpidos para reconocer las soluciones correctas cuando se les metía en la cara! Esto me enseñó una valiosa lección sobre cuán matemáticamente ignorantes son los estudiantes de Harvard.

Por supuesto, obtuve un puntaje perfecto, y ellos obtuvieron un puntaje muy bajo (aunque no sé cómo evitaron obtener un cero). Por lo tanto, no se deje intimidar por los chicos de clase alta, una persona estudiosa del tipo de clase trabajadora puede correr fácilmente a su alrededor, no es capaz de pensar lógicamente. Estos comentarios se aplican solo a estudiantes de pregrado de Harvard, no a estudiantes de pregrado del MIT o estudiantes de Harvard, y ni siquiera a todos los estudiantes de pregrado de Harvard, también tienen algunos nerds reales.

Como TA, una estudiante de pregrado intentó seducirme (no logró llegar a las matemáticas-55), en las finales para llevar a casa, una estudiante de pregrado quería engañarme (le di la respuesta incorrecta). Muchos estudiantes copiaron mis respuestas a conjuntos de problemas en matemáticas y física, pretendiendo trabajar juntos. Eso debería darle la idea del nivel de ética del que estamos hablando. Creo que si no dices tus respuestas y te mantienes alejado de los schmoozers sociales poco éticos, pasas el rato con estudiantes graduados y profesores, y escuchas solo a los profesores, estarás bien. Hay muchos estudiantes de Harvard que piensan que son los superhombres y supermujeres de Nietzsche, y actúan en consecuencia.

Es una de las experiencias más gratificantes para un estudiante universitario en Harvard. No estoy de acuerdo con Ron Maimon sobre no tomarlo si no conoces bien las pruebas (también lo tomé con Noam Elkies). En todo caso, debe tomarlo si no conoce bien las pruebas. El primer semestre podría ser duro, pero la mayoría de las escuelas no enseñan matemáticas adecuadamente en términos de pruebas reales. Es una buena forma de entrenar tu cerebro, un campo de entrenamiento serio para poner tu mente en forma. En la escuela secundaria, nunca me fue bien en la USAMO, en el mejor de los casos podría resolver un problema. Menos de un semestre de Math 55 me llevó a donde obtuve un HM en el Putnam. ¿La diferencia? Tener que hacer pruebas todas las semanas. ¿Disfruté el proceso? Probablemente no. Es como hacer dieta o entrenar con pesas. ¿Sientes que ganaste algo al final? Absolutamente..

Harvar Math 55 es un curso de pregrado de matemáticas de primer semestre de dos semestres en la Universidad, que fue fundado por Lynn Loomis y Shlomo Sternberg.

Math 55a y Math 55b son los títulos oficiales del curso. El título oficial anterior fue Cálculo avanzado con honores y Álgebra lineal . Algunas personas suponen que Harvard Math 55 es el curso de matemáticas de pregrado más difícil en los Estados Unidos.

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Math 55 es probablemente la clase de matemáticas de pregrado más difícil del país.

Dependiendo de la clase, el examen de diagnóstico se puede dar después de tres semanas para ayudar a los estudiantes con su decisión. El curso es muy rápido y cubre mucho material. Es probablemente el curso de matemáticas más difícil destinado a estudiantes de primer año en el país, y la carga de trabajo es extremadamente alta. Sin embargo, el material cubierto no es tan sofisticado como el material que se enseña en los cursos de nivel superior en varias escuelas; después de todo, es un curso de primer año. Si bien es probable que los cursos de nivel superior en varias universidades no asignen tanto trabajo como Math 55, definitivamente pueden cubrir material más difícil.

Math 55 no solo es más difícil que BC Calc, sino también Math 25, Math 23, Math 21, Math 20, Math 19 … Math 1 es similar.

La demografía de los estudiantes que toman el examen a lo largo de los años se ha utilizado para estudiar las causas de las diferencias de género y raza en los campos de las matemáticas y la tecnología.

Entre los miembros del Departamento de Matemáticas de Harvard, debemos mencionar a Benedict Gross y Joe Harris, la profesora de física de Harvard, Lisa Randall, y el profesor de economía de Harvard, Andrei Shleifer.

Un artículo de 2006 de Harvard Crimson alegaba que solo 17 mujeres completaron la clase entre 1990 y 2006,

También hay alumnos de Math 55 que pasaron a ser profesores en otras universidades. Estos incluyen al medallista de campos Manjul Bhargava, Kiran Kedlaya. Además de estos profesores, los antiguos alumnos de Matemáticas 55 incluyen a Bill Gates.

En resumen: duro y lento.

En la primavera de 2016, los estudiantes informaron un promedio de 45.2 horas por semana dedicadas a este curso. He tenido amigos brillantes que abandonaron este curso después de la primera semana.

Francamente, el material es increíblemente complejo y consume mucho tiempo. Esto hace que el curso sea inapropiado para los horarios de la mayoría de los estudiantes. Si bien solo había 12 estudiantes matriculados en la primavera, casi todos los estudiantes conocen este curso. Se ha convertido en una especie de broma en el campus, simplemente porque cualquiera que realmente pueda tomar el curso es venerado como un genio más allá de los niveles intelectuales, incluso para el estudiante promedio de Harvard.

Tomé matemáticas 55 ayb en 1961 y 1962 de Loomis y Sternberg respectivamente. Creo que este fue el segundo año que se dio el curso. Fue una secuela de matemáticas 11 (impartido por Tate) y juntos los cursos formaron la secuencia de cálculo de honores de dos años. Ambos cursos me impresionaron mucho, ya que fueron mucho más allá de lo que había tenido en la escuela secundaria. Math 11 comenzó con el axioma de que los números reales son un campo ordenado completo y demostró todo a partir de ahí. El curso fue tan bueno que tuve la oportunidad de referirme a mis notas de él recientemente cuando enseñaba cálculo de honores en Stony Brook. Todavía, más de medio siglo después, recuerdo estar muy impresionado por la prueba de que un conjunto cerrado de números reales es compacto. En ese momento me pareció que uno estaba obteniendo algo de la nada.

Math 55a fue un cálculo multivariable realizado en un espacio vectorial normado completo (espacio de Banach), que es el contexto correcto ya que es el escenario general en el que los teoremas básicos del cálculo diferencial son verdaderos: el teorema de la función inversa y el teorema fundamental de las ecuaciones diferenciales ordinarias . En 55b, estudiamos múltiples diferenciables que son espacios que son localmente similares a los espacios lineales normados de 55a. Todavía recuerdo una pregunta de examen: demuestre que el haz tangente de una variedad diferencial (de dimensión finita) es orientable. En el examen lo hice de la manera más difícil usando gráficos y mostrando que todos los mapas de transición entre gráficos tenían jacobianos positivos.

Ambos cursos se han quedado conmigo de por vida y estoy muy agradecido con sus profesores.

Tomé Math 55 en 1966-67, creo que del profesor Andrew Gleason. Fue muy desafiante, más aún porque omití su requisito previo de Matemáticas 11 ya que tenía una colocación avanzada de estudiar cálculo en la escuela secundaria. (Supongo que es más común en estos días). Recuerdo que la tarea era muy difícil, incluso si pensabas que entendías el material. Solíamos formar equipos y ayudarnos unos a otros, no solo copiar el trabajo del otro. Me parece recordar haber pensado que otros estudiantes entendieron pero yo no. Al menos, asintieron con la cabeza durante las conferencias como si entendieran. Pero obtuve una calificación decente y obtuve un doctorado en matemáticas en Harvard. Si quieres un desafío, ¡adelante!

No me preguntes por qué tomé Math 55.
Ahora me pregunto si alguien saldrá vivo.
Tan pronto como entro en clase, estoy luchando contra un enjambre
De formas bilineales simétricas no degeneradas definidas positivas.

Oh! Te quedas despierto toda la noche del martes trabajando en ellos en tu dormitorio.
Obtiene la misma topología sin importar cómo se transforma.
Los vuelves a armar y obtienes tu norma favorita.
Esas formas bilineales simétricas no degeneradas definidas positivas.

De la canción “Formas bilineales simétricas no degeneradas positivas-definidas” del musical “Les Phys” de Peter Dong.