Una de mis lagunas favoritas es la paradoja de Skolem. Lo que esto dice es que si alguien le da una descripción (un conjunto de axiomas) de la teoría de conjuntos en la lógica de primer orden, y esta descripción no es más que infinitamente contable (piense en ellos como numerados 1, 2, 3, etc. .), entonces hay un modelo infinitamente contable de esos axiomas.
Es decir, aunque los teoremas de la teoría de conjuntos parecen referirse a innumerables conjuntos infinitos, hay una interpretación perfectamente válida que se basa solo en un conjunto del tamaño de los números naturales. Siempre hay un escape (dentro de la lógica de primer orden) para tratar solo con un infinito contable.
O, para probar una versión más ágil, si alguien parece estar hablando de los números reales (de nuevo, usando solo lógica de primer orden), o ordinales infinitos, o números surrealistas, hay una manera de interpretarlos como hablando de los números naturales ¡en lugar!
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La resolución de la paradoja es que no puedes romper niveles. Hay un conjunto en la interpretación no estándar que es “los números naturales” y hay conjuntos que son “incontables”, y no hay biyección entre ellos. No puede exigir que tampoco haya biyección entre la interpretación de los números naturales fuera del modelo y los conjuntos “incontables” dentro del modelo. Los términos en la teoría se definen adecuadamente solo por los axiomas, no por los significados en la cabeza del matemático.
