¿Por qué los vectores tienen componentes y los escalares no?

Los vectores no “necesitan” resolverse en componentes, más bien, los vectores pueden resolverse en componentes. Este es un resultado bastante importante sobre los espacios vectoriales: que admiten bases (y en particular, bases ortonormales).

Es un poco análogo a la factorización prima: puede representar cualquier número natural como un producto único de poderes primarios, y eso es genial . Entonces, para bases sobre espacios vectoriales.

Limitaremos esta discusión a vectores en R ^ n (real) y no en espacio vectorial complejo.

Un vector no es simplemente una flecha dirigida (se puede representar como eso en dos dimensiones (el plano) y en tres dimensiones (espacio). Para simplificarlo, haremos que nuestros vectores tengan sus colas en el origen (por de la misma manera, “todos” los vectores se pueden reorientar para que tengan sus colas en el origen). Un vector en 2-D (diremos R ^ 2) puede representarse como las coordenadas (x, y) donde es longitud (norma ) se representa mediante la fórmula de distancia d = raíz cuadrada (x ^ 2 + y ^ 2), que es la distancia de (x, y) desde el origen. Esta distancia (longitud) se denomina “magnitud” mientras que la posición del vector ( x, y) dice que es “dirección” en relación con el orin, en nuestra discusión.Por ejemplo, el vector (3, 4) tiene una magnitud de 5, como puede verificar.

La razón por la cual los escalares reales (número) no necesitan dirección porque, por tradición, un número real puede representarse como un punto en una línea numérica, generalmente representado como el eje x (aunque el eje y también puede hacerlo) . Entonces, la dirección está implícita en el escalar, así como la magnitud es explícita. Digamos, damos que -7 es un escalar; entonces, sabemos que -7 quedan 7 unidades de cero en la recta numérica.

Nota: los números reales se pueden tomar como espacio vectorial unidimensional con base {1}; y también pensamos en los números reales como escalares en este caso.

Finalmente, los componentes de los vectores le indican la “dirección” de los vectores, un concepto que es puramente abstracto más allá de 3-D (más allá de R ^ 3). Digamos, se nos da (3, 4), luego 3 y 4 son los componentes, donde 3 representa la xy 4 representa la y. En R ^ 3, un vector (3, 4, 6) tiene componentes x = 3, y = 4 y z = 5. Un vector arbitrario (x1, x2, x3, …, xn) en R ^ n tiene componentes x1 , x2, x3,…, xn y magnitud sqrt ((x1) ^ 2 +… + (xn) ^ 2).