¿Por qué divergen las series armónicas?

Un método, que también se relaciona con la constante de Euler-Mascheroni, es usar integrales. La serie armónica puede considerarse como un conjunto de rectángulos con longitud 1 y alturas 1, 1/2, etc. Las áreas de todos estos rectángulos combinados son las series armónicas. Esto también es equivalente a la integral de 1 / piso (x) de 1 a infinito. Sin embargo, usando el hecho de que la integral de 1 / x es ln (x) + C, sabemos que la integral de 1 / x de 1 al infinito es infinita. 1 / floor (x) = 1 / x cuando x es un número entero, pero es mayor que 1 / x en cualquier otro lugar; Por lo tanto, sabemos que la integral será aún mayor. Como la integral de 1 / x de 1 a infinito es infinito, la integral de 1 / piso (x), que es igual a la serie armónica, también es infinita.

Lo bueno de esta prueba es que muestra por qué la serie armónica siempre es un poco mejor que el registro natural. De hecho, la constante de Euler-Mascheroni se define como la diferencia límite entre los dos: γ = lim n-> ∞ H (n) -ln (n), donde H (n) es la suma de los primeros n términos en el serie armónica

Podemos usar la misma prueba para mostrar que la constante de Euler Mascheroni es finita. Como 1 / piso (x) siempre es mayor o igual a 1 / x, la integral de 1 a ∞ de 1 / piso (x) -1 / x es positiva y es igual a la constante de Euler-Mascheroni debido a la prueba arriba de la divergencia de la serie armónica. Sin embargo, 1 / ceil (x) siempre es menor o igual a 1 / x, y sumamos las áreas en x rectángulos de longitud 1 y altura 1/2, 1/3, etc. Obtenemos la integral de 1 / ceil (x) de la misma manera obtuvimos la integral de 1 / piso (x) en la primera prueba. Como 1 / ceil (x) es siempre menor o igual que 1 / x, la integral de 1 / ceil (x) -1 / x es siempre negativa. Sin embargo, la integral de 1 / ceil (x) es exactamente la misma que 1 / floor (x) excepto que comienza en el rectángulo con altura 1/2 en lugar de altura 1. Esto significa que la integral de uno al infinito de 1 / ceil ( x) -1 / x será γ-1 (ya que ya se demostró que γ es igual a la integral de 1 / floor (x) -1 / x). Sin embargo, ya hemos demostrado que esta integral debe ser negativa, mientras que γ debe ser positiva, lo que significa γ> 0 y γ-1 <0. Esto se simplifica a 0 <γ <1, lo que significa que no solo sabemos que es finito, sino que también está entre 0 y 1. El valor exacto es aproximadamente 0.57721, y no se sabe si es irracional.

Hay una prueba bastante hermosa y simple de Leo Goldmakher sobre la divergencia de la serie armónica. Es algo parecido a esto:

Si tenemos la serie armónica [matemáticas] H = \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n} = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3 } + \ frac {1} {4} + \ ldots [/ math], podemos reorganizar algunos términos. Primero haremos una suma que obviamente es menor o igual que [math] H [/ math].

[matemáticas] H \ geq 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} { 6} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ ldots [/ math]. Esta relación debe ser verdadera porque cada término de la nueva serie es menor o igual que el término correspondiente de la Serie Armónica. Por lo tanto, dado que cada término es menor o igual que el término armónico correspondiente, la serie debe ser menor o igual que la serie armónica.

Pero ahora, si comenzamos a agrupar términos, vemos [matemática] H \ geq 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ ldots = \ frac {1} {2} + H [/ matemáticas]. Esto es una contradicción, por lo tanto, la serie armónica debe divergir.

Si desea leer el original (y una prueba más elegante presentada), puede encontrarlo aquí: https://web.williams.edu/Mathema …

Hay un par de formas de ver esto. El primer método, bastante seco, es utilizar la prueba integral. Esto nos permite reemplazar esta serie discreta con una integral (una suma continua) que es más grande o más pequeña que nuestra serie discreta. En este caso, si queremos demostrar divergencia, estamos considerando una imagen como esta:
En este caso, la integral será más pequeña que nuestra suma deseada (en verde). Nuestra función será [matemáticas] f (x) = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]. Al integrar esto, obtenemos: [matemáticas] \ int_1 ^ \ infty \ frac {1} {x} dx = \ left. ln (x) \ right | _1 ^ \ infty = \ infty [/ math]
Por lo tanto, la integral diverge, y nuestra serie debe divergir. Esto es una consecuencia del hecho de que nuestra función se integra al registro natural que no está limitado. Si estuviéramos considerando una serie p (como se la llama) [matemáticas] \ frac {1} {x ^ p} [/ matemáticas] con [matemáticas] p> 1 [/ matemáticas], se integraría a algo con un exponente en el denominador mayor que cero, que estaría acotado.

Ahora, para una prueba más elegante y clásica. Considere la siguiente serie que es más pequeña que la serie armónica:
[matemáticas] \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} +… <[/ matemáticas]
[matemáticas] 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {7} + \ frac {1} {8} [/ matemáticas]
La serie más pequeña diverge, porque solo agrega la mitad una y otra vez, por lo que la serie armónica debe divergir, ¡ya que es más grande que esta serie divergente!

No estoy seguro de lo que quieres para una respuesta. ¿Le han dicho que converge, sin más explicaciones? En cuyo caso, la respuesta clásica, que viene dada por otra respuesta, es la mejor explicación. Simplemente dice que la serie armónica es más grande que otra serie que claramente diverge, ya que es 1/2 + 1/2 + 1/2 +. . .

En cuanto a una respuesta más profunda. . . No sé si hay uno. Una condición necesaria para la convergencia de una serie es que sus términos tienden a cero, pero eso no es suficiente. Eso es solo un hecho que hace que el estudio de series sea un poco más difícil. (Y más interesante.) Uno de mis maestros de escuela, cuando se le preguntó “¿por qué?” Continuamente en respuestas de respuesta, eventualmente diría: “Está en la naturaleza de las cosas”.

Tenga en cuenta que [math] a_ {n} \ rightarrow 0 [/ math] es una condición necesaria pero no suficiente para la convergencia. Es necesario ya que [math] S_ {n} \ rightarrow S [/ math] implica que [math] | a_ {n} | = | S_ {n} -S_ {n-1} | \ leq | S_ {n} -S | + | S-S_ {n-1} | \ rightarrow 0 [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math].

Sin embargo, [matemáticas] \ Sigma_ {1} ^ {N} \ frac {1} {n} = \ int_ {1} ^ {N + 1} \ frac {1} {\ left \ lfloor x \ right \ rfloor} \; dx \ geq \ int_ {1} ^ {N + 1} \ frac {1} {x} \; dx = \ ln (N + 1) \ rightarrow \ infty [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math]. Entonces no logra converger.

Cuidado. A medida que x aumenta sin límite (“se acerca al infinito”), 1 / x se acerca a cero. Puede que se esté refiriendo a la suma de “1 / x” – la suma de las series infinitas 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4… .. Ahora, 1/3 + 1/4 es mayor que 1 / 2) 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 es mayor que 1/2. Si agrego arbitrariamente muchas mitades, puedo exceder cualquier número finito. Entonces, esta suma diverge al infinito, es decir, al tomar suficientes términos, puedo hacerla mayor que cualquier número positivo especificado.

porque cualquiera que sea el número que elijas, no importa cuán grande sea, puedo obtener un número mayor con un número finito de términos en la secuencia 1 / x.

Esta es una reformulación simplificada de un argumento epsilon-delta.

Hay una prueba clásica de esto que compara la serie con 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + …