Mientras 1 ^ 1 es 1, ¿1 ^ x = 1? (donde x es algo)? ¿Hay un valor para x para el cual 1 ^ x no es igual a 1?

[matemáticas] 1 = e ^ {2 \ pi in}; \, n \ in \ mathbb {Z} [/ math]
entonces
[matemáticas] 1 ^ x = e ^ {2 \ pi inx} [/ matemáticas].
Si [math] x [/ math] es cualquier número real, por ejemplo, podemos expresarlo como
[matemática] x = X + z [/ matemática] donde [matemática] X = \ left \ lfloor {x} \ right \ rfloor [/ math] y [math] z = x – \ left \ lfloor {x} \ right \ rfloor [/ math] con [math] z \ in [0,1) [/ math], entonces X es la parte entera de x y z es la parte real. (Tenga en cuenta que los corchetes de aspecto divertido significan “piso”, es decir, redondeando hacia abajo).

[matemáticas] 1 ^ x = e ^ {2 \ pi en X} e ^ {2 \ pi inz} = e ^ {2 \ pi inz}. [/ math]
Esto da muchas raíces que no son simplemente 1, sino que son un número complejo con magnitud 1. Sin embargo, si x es un número entero (es decir, x = X; z = 0), entonces solo puede ser 1.

No solo está restringido a números complejos de magnitud 1. Si x es compleja, es decir
[matemáticas] x = a + ib; \, \ left \ {a, b \ right \} \ in \ mathbb {R} [/ math] luego
[matemáticas] 1 ^ x = e ^ {2 \ pi ina} e ^ {- 2 \ pi nb} [/ matemáticas].
Como establecimos, el primer factor, [matemática] e ^ {2 \ pi ina} [/ matemática] puede tomar varios valores complejos de magnitud 1. El segundo factor, [matemática] e ^ {- 2 \ pi nb} [/ math] puede ser uno de una secuencia de valores reales de diferente magnitud, que van en pasos enteros de [math] – \ infty [/ math] a [math] \ infty [/ math].

Es fácil demostrar que podemos elegir [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] para obtener prácticamente cualquier número complejo. Si queremos que [math] 1 ^ x [/ math] sea un número complejo de fase [math] \ theta [/ math] y magnitud [math] r [/ math], entonces simplemente hacemos:
[matemáticas] e ^ {2 \ pi ina} = e ^ {i \ theta} \ implica a = \ frac {\ theta} {2 \ pi n} [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {- 2 \ pi nb} = r \ implica b = \ frac {\ ln (1 / r)} {2 \ pi n} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica x = \ frac {\ theta – i \ ln r} {2 \ pi n}. [/ matemáticas]
para cualquier [math] n \ in \ mathbb {Z}. [/ math]
Tenga en cuenta que esto excluye la posibilidad de [math] r = 0 [/ math] ya que la parte imaginaria de x debería divergir. (Gracias James Brust por señalar eso).

En resumen, [math] 1 ^ x [/ math] tiene las siguientes restricciones sujetas a las siguientes restricciones de x:
-si x es un entero, [matemática] 1 ^ x = 1 [/ matemática]
-si x es cualquier número real, [matemáticas] 1 ^ x \ in \ mathbb {C}; \, | 1 ^ x | = 1 [/ matemáticas]
-si x es cualquier número complejo, [math] 1 ^ x \ in \ mathbb {C} \ setminus 0 [/ math].

Deje x ser cualquier número real.
Deje 1 ^ x = 1.
Tomando registro en ambos lados,
x log 1 = log 1.
Como log 1 = 0, tenemos
x * 0 = 0, lo cual es cierto para cualquier número real x.
Por lo tanto, 1 ^ x = 1 para todos los números reales.

1 = exp (i * 2nπ)
1 ^ i = exp (-2nπ)
el lado derecho tiene infinitos valores reales ya que n puede ser cualquier número entero.