Si [math] x ^ 2-3x + 1 = 0 [/ math], ¿cuál es el valor de [math] x ^ 2 + {\ large \ frac {1} {x ^ 2}} [/ math]?

De acuerdo con [matemáticas] x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas], [matemáticas] x \ neq0 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ quad x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ dfrac {\ color {azul} {x ^ 2 + 1}} {x}) ^ 2-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ dfrac {\ color {azul} {3x}} {x}) ^ 2-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3 ^ 2-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ boxed {7}. [/ matemáticas]

Esperando que eso ayude.

Mira eso

[matemáticas] x²-3x + 1 = 0 \ implica x-3 + \ dfrac {1} {x} = 0 [/ matemáticas]

Entonces ,

[matemáticas] x + \ dfrac {1} {x} = 3 [/ matemáticas]

Cuadrado de ambos lados

[matemáticas] x² + \ dfrac {1} {x²} + 2 = 9 [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] x² + \ dfrac {1} {x²} = 7 [/ matemáticas]

X ^ 2–3x + 1 = 0

X ^ 2 +1 = 3x

(X ^ 2 + 1) ^ 2 = (3x) ^ 2

x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1 = 9x ^ 2

X ^ 4 + 1 = 7 x ^ 2

Dividido por x ^ 2

X ^ 2 + 1 / x ^ 2 = 7

La respuesta es 7 ……

[matemáticas] x ^ 2 – 3x + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = 3x – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + \ frac {1} {x}) ^ 2 = (\ frac {x ^ 2 + 1} {x}) ^ 2 = x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} + 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ frac {3x – 1 + 1} {x}) ^ 2 – 2 = x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 2 – 2 = x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} = 7 [/ matemáticas]

[matemática] x ^ 2–3x + 1 = 0 \, [/ matemática] se puede dividir entre [matemática] x [/ matemática] para obtener [matemática] x + 1 / x = 3 [/ matemática]. Toma el cuadrado de esa ecuación y obtendrás

[matemáticas] (x + 1 / x) ^ 2 = x ^ 2 + 1 / x ^ 2 + 2 = 9 \ Rightarrow x ^ 2 + 1 / x ^ 2 = 7 [/ matemáticas]

Editar: La siguiente fue mi primera solución, no tan simple como la anterior.

[matemática] x ^ 2–3x + 1 = 0 [/ matemática] tiene dos soluciones [matemática] x_1 \, [/ matemática] y [matemática] x_2 \, [/ matemática]. Vieta te dice que [matemáticas] x_1 + x_2 = 3 \, [/ matemáticas] y [matemáticas] x_1 x_2 = 1 \, [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] 1 / x_1 = x_2 \ Flecha derecha x_1 + 1 / x_1 = x_1 + x_2 = 3 \, [/ matemáticas]. Ahora puedes usar [math] [/ math]

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} (x_1 + 1 / x_1) ^ 2 & = & x_1 ^ 2 + 1 / x_1 ^ 2 + 2 \ Rightarrow \\ x_1 ^ 2 + 1 / x_1 ^ 2 & = & (x_1 + 1 / x_1) ^ 2–2 = (x_1 + x_2) ^ 2-2 = 7 \ end {eqnarray *} [/ math]

Usando [math] x_2 \, [/ math] en lugar de [math] x_1 \, [/ math] daría el mismo resultado.

7 7

Resuelve para x usando la fórmula cuadrática:

a = 1 b = -3 c = 1 => [3 +/- raíz cuadrada {9- (4) (1) (1)}] / (2) (1) => [3 +/- sqrrt (9 – 4)] / 2

=> [3 +/- sqrrt (5)] / 2

{[3 + sqrrt (5)] / 2} ^ 2 + 1 / {[3 + sqrrt (5)] / 2} ^ 2 O {[3 – sqrrt (5)] / 2} ^ 2 + 1 / { [3 – sqrrt (5)] / 2} ^ 2

(9 + 6sqrrt (5) + 5) / 4 + 4 / (9 + 6sqrrt (5) + 5) O (9 – 6sqrrt (5) + 5) / 4 + 4 / (9 – 6sqrrt (5) + 5 )

Luego, para simplificar: (14 + 6sqrrt (5)) / 4 + 4 / (14 + 6sqrrt (5)) OR (14 – 6sqrrt (5)) / 4 + 4 / (14 – 6sqrrt (5))

Ahora para simplificar más: multiplique (14 + 6sqrrt (5)) / 4 por (14 + 6sqrrt (5) sobre sí mismo, que es uno, y multiplique 4 / (14 + 6sqrrt (5)) por 4/4, que es uno.

[196 + 168sqrrt (5) +180] / [56 + 24sqrrt (5)] + 16 / [56 + 24sqrrt (5)] =

[392 + 168sqrrt (5)] / [56 + 24sqrrt (5)] factoriza el factor común de [56 + 24sqrrt (5)] y finalmente obtienes 7. Creo que todos los demás lo hicieron con un método mucho más eficiente 🙁

* A2A

[matemáticas] x ^ 2–3x + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 + 1 = 3x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (3x) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1 = 9x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 4 + 1 = 7x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {x ^ 4 + 1} {x ^ 2} = \ dfrac {7x ^ 2} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ en caja {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 7} [/ matemáticas]

y hemos terminado

① x² + 1 = 3x

(x² + 1) / x = 3

x + (1 / x) = 3

x² + 1 / x² + 2 = 9

x² + (1 / x²) = 7 ■

■■■■■■■■■

②x = ½ (3 ± √5)

2x = 3 ± √5

4x² = 14 ± 6√5

2x² = 7 ± 3√5

(i) cuando 2x² = 7 + 3√5

2 / x² = 4 / 2x² = 4 / (7 + 3√5) = (7-3√5)

x² + 1 / x² = ½ {(7 + 3√5) + (7-3√5)} = ½ * 14 = 7

(ii) 2x² = 7–3√5

2 / x² = 4 / 2x² = 4 / (7–3√5) = 4 (7 + 3√ / 5) / 4 = 7 + 3√5

x² + 1 / x² = ½ (14) = 7

X = 3/2 + srt (5) / 2. X = 3/2 – srt (5) / 2. X ^ 2 + 1 / x ^ 2. =. (9x ^ 2 -6x +2) / (3x-1). ¡Haz las matematicas!