Curiosamente, los dos representan ideas MUY diferentes a pesar de que siempre evalúan el mismo resultado y son, por lo tanto, la misma función.
Para [math] \ alpha \ in \ mathbb R [/ math], podemos (y tradicionalmente) definiríamos [math] e ^ \ alpha [/ math] usando límites. Encontramos una secuencia de números racionales, [math] \ alpha_n [/ math], que converge a [math] \ alpha [/ math]. Luego definimos [matemática] e ^ \ alpha [/ matemática] como el límite de la secuencia [matemática] e ^ {\ alpha_n} [/ matemática] donde cada término de la secuencia se evalúa tomando una raíz numérica natural de un repetido producto de [math] e [/ math] (posiblemente con un recíproco arrojado por negativo [math] \ alpha [/ math]).
Por otro lado, [math] \ exp (\ alpha) [/ math] generalmente se define como:
- ¿Cuál es la mejor manera de prepararme para AIME?
- ¿Tiene sentido utilizar las matemáticas complejas en Finanzas cuantitativas cuando la precisión del resultado puede ser inferior en> 50%?
- Cómo abordar esta pregunta
- ¿Cuál es el significado del teorema de Toda?
- ¿Por qué 1 es un número cuadrado pero no un número rectangular?
[matemáticas] \ displaystyle \ exp (\ alpha) = 1 + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ alpha ^ n} {n!} [/ math]
Esta serie converge para todos [math] \ alpha [/ math]. Y es cierto, pero ciertamente no está claro de inmediato, que para todos los valores reales, los dos enfoques deben dar el mismo resultado.
Para el caso más general cuando [math] \ alpha \ in \ mathbb C [/ math], resulta que la definición de [math] \ exp (\ alpha) [/ math] no necesita cambiarse ya que la serie aún converge a una respuesta compleja única. Sin embargo, necesitamos una nueva definición de la operación ^. Resulta que definimos:
[matemáticas] a ^ b = \ exp (b \ log a) [/ matemáticas]
con [math] \ log [/ math] denotando un registro natural valioso complejo que asigna los números complejos a un conjunto contable de números complejos. No escribiré esa definición con cuidado, pero puede encontrarla en muchas otras respuestas de Quora y en otros lugares.
Entonces, con esta definición de ^, vemos que
[matemáticas] e ^ \ alpha = \ exp (\ alpha \ log e) [/ matemáticas]
Y solo queda por demostrar que el logaritmo natural complejo y valorado de [math] e [/ math] se evalúa como uno. Y eso es cierto, al menos para el valor principal de esta función de registro natural. Entonces obtenemos:
[matemáticas] e ^ \ alpha = \ exp (\ alpha) [/ matemáticas]
Y vemos que las dos ideas, aunque bastante diferentes, en realidad dan el mismo resultado.
