¿Cuántas intersecciones tienen las ecuaciones polares, [matemática] r = 2 \ cos 2 \ theta [/ matemática] y [matemática] r = 1 [/ matemática]? ¿Por qué?

La ecuación del círculo unitario centrado en el origen: x² + y² = 1 en coordenadas polares:

(rsinθ) ² + (rcosθ) ² = 1 →vious

r²sin²θ + r²cos²θ = 1 →font>

r² (sin²θ + cos²θ) = 1 →font>

r² = 1

r = ± 1

resolviendo para 2cos2θ = ± 1

cos2θ = ± ½

abeto 0≤θ≤ 2π, o, 0≤2θ≤4π, siendo base∠ π / 3

2θ = π / 3,2π / 3,4π / 3,5π / 3,7π / 3,8π / 3,10π / 3,11π / 3

θ = π / 6, π / 3,2π / 3,5π / 6,7π / 6,4π / 3,5π / 3,11π / 6

∴ hay 8 intersecciones

El problema es que los valores r son negativos para \ theta entre [matemáticas] \ pi / 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 \ pi / 4 [/ matemáticas] y entre [matemáticas] 5 \ pi / 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] 7 \ pi / 4 [/ matemáticas].

Esto significa que hay dos nociones de cómo podemos definir una intersección entre las curvas. Deje que las curvas sean [matemáticas] r_1 (\ theta) [/ matemáticas] y [matemáticas] r_2 (\ theta) [/ matemáticas] en una noción estamos buscando valores de \ theta tales que [matemáticas] r_1 (\ theta ) = [/ matemáticas] [matemáticas] r_2 (\ theta) [/ matemáticas]. Esto tiene solo 4 soluciones.

Una segunda noción trata las curvas como curvas parametrizadas y queremos dos valores diferentes de \ theta, \ theta_1 y \ theta_2 de modo que el punto cartesiano r_1 (\ theta_1) sea r_2 (\ theta_2).

Tienes razón en que las únicas soluciones a la ecuación [matemáticas] 1 = 2 \ cos 2 \ theta [/ matemáticas] (módulo [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas]) son: [matemáticas] \ pi / 6 [/ matemática], [matemática] 5 \ pi / 6 [/ matemática], [matemática] 7 \ pi / 6 [/ matemática] y [matemática] 11 \ pi / 6 [/ matemática].

Es solo que la gráfica paramétrica para [matemática] r (\ theta) = 1 [/ matemática] y para [matemática] r (\ theta) = -1 [/ matemática] es la misma: el círculo del radio unitario. Por lo tanto, para encontrar las intersecciones de las gráficas polares, también debe incluir las soluciones a [matemáticas] -1 = 2 \ cos 2 \ theta [/ matemáticas]. Estos son (módulo [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas]): [matemáticas] \ pi / 3 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 \ pi / 3 [/ matemáticas], [matemáticas] 4 \ pi / 3 [ / math] y [math] 5 \ pi / 3 [/ math].

Debe recordar que, al dibujar un diagrama paramétrico, los valores negativos de la función [math] r (\ theta) [/ math] se representan mediante un punto a una distancia [math] | r (\ theta) | [/ math] desde el origen (las distancias nunca son negativas), pero a lo largo de un rayo dibujado en un ángulo [matemático] \ theta + \ pi [/ matemático] con respecto al eje [matemático] x [/ matemático] (es decir, a lo largo del opuesto dirección al rayo dibujado en ángulo [matemática] \ theta [/ matemática]).

Esto significa que la gráfica de [matemática] r (\ theta) = 1 [/ matemática] para [matemática] 0 \ leq \ theta \ leq \ pi [/ matemática] es el semicírculo superior, mientras que la gráfica de [matemática] r (\ theta) = -1 [/ math] en ese mismo dominio de [math] \ theta [/ math] es el semicírculo inferior. Si considera todo el dominio angular [math] 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi [/ math], entonces las gráficas para [math] r (\ theta) = 1 [/ math] y [math] r (\ theta) = -1 [/ math] son ​​lo mismo. Es por eso que cuenta ocho intersecciones en el diagrama como dibujadas.

Intenta trazar r = 1 yr = -1.

Luego, date cuenta de que r = + a y r = -a son lo mismo, en coordenadas polares (reales).

No. Ve a hacer tu propia tarea.