¿Qué es un functor en teoría de categorías?

Al igual que muchos conceptos en matemáticas, la definición de functor puede expresarse como algunos datos que satisfacen algunas restricciones.

Definición: deje que [math] \ mathcal {C}, \ mathcal {D} [/ math] sean dos categorías. Un functor [math] F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D} [/ math] consiste en

1. una asignación de un objeto [matemática] F (X) [/ matemática] de [matemática] \ matemática {D} [/ matemática] a cada objeto [matemática] X [/ matemática] de [matemática] \ matemática {C} [ / matemáticas] y
2. una asignación de un morfismo [matemática] F (f): F (X) \ a F (Y) [/ matemática] en [matemática] \ matemática {D} [/ matemática] a cada morfismo [matemática] f: X \ a Y [/ math] en [math] \ mathcal {C} [/ math]

sujeto a las restricciones:

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1. [math] F (\ mathrm {id} _X) = \ mathrm {id} _ {F (X)} [/ math] para cada objeto [math] X [/ math] de [math] \ mathcal {C} [ / matemáticas] y
2. [matemática] F (g \ circ f) = F (g) \ circ F (f) [/ matemática] para todos los morfismos [matemática] f, g [/ matemática] de [matemática] \ matemática {C} [/ matemática ] para el cual [math] g \ circ f [/ math] tiene sentido.

La intuición detrás de esta definición depende del tipo de categoría en cuestión. Un tipo de categoría comúnmente estudiada es aquella cuyos objetos son “gadgets” y cuyos morfismos son “mapas que preservan la estructura entre los gadgets” (por ejemplo, grupos y homomorfismos grupales, espacios vectoriales y mapas lineales, múltiples suaves y funciones suaves, conjuntos y funciones, … ) Un functor entre tales categorías envía gadgets A a gadgets B y mapas de gadgets A a mapas de gadgets B. Eso huele un poco a “preservar la estructura”, ¿no? ¡Tienes razón!

Hecho: Hay una categoría cuyos objetos son categorías [matemática] \ matemática {C}, \ matemática {D}, \ matemática {E}, \ ldots [/ matemática] y cuyos morfismos son functores.

Desde esta perspectiva, un functor es un mapa de categorías que preserva la estructura, adecuadamente interpretado. Esta es la intuición habitual de los libros de texto. Aquí hay algunos ejemplos que siguen este patrón:

• Cada espacio vectorial es un conjunto: simplemente olvide su estructura adicional (vector cero, suma, multiplicación escalar). Y cada mapa lineal de espacios vectoriales también es un mapa de conjuntos. Por lo tanto, “olvidando” la estructura adicional proporciona un functor desde espacios vectoriales y mapas lineales hasta conjuntos y funciones.
• Lo mismo ocurre con otras categorías de dispositivos y espacios algebraicos: hay functores olvidadizos en la categoría de conjuntos y funciones de la categoría de grupos y homomorfismos, la categoría de grupos abelianos y homomorfismos, la categoría de espacios topológicos y mapas continuos, etc.
• A un espacio topológico [matemático] X [/ matemático] con un punto base elegido [matemático] x_0 \ en X [/ matemático], podemos asociar un grupo Fundamental, [matemático] \ pi_1 (X, x_0) [/ matemático] . Un mapa continuo de espacios [matemática] f: X \ a Y [/ matemática] con [matemática] f (x_0) = y_0 [/ matemática] naturalmente da lugar a un homomorfismo grupal [matemática] \ pi_1 (f): \ pi_1 (X, x_0) \ a \ pi_1 (Y, y_0) [/ math]. Puede verificar que este es un functor desde espacios topológicos y mapas continuos hasta grupos y homomorfismos grupales.
• Si [math] R, S [/ math] son ​​anillos y [math] M [/ math] es un bimodule [math] (R, S) [/ math], entonces [math] N \ mapsto M \ otimes_S N [ / math] es un functor de los módulos izquierdos [math] S [/ math] (y sus homomorfismos) a los módulos [math] R [/ math] izquierdos (y sus homomorfismos).

No faltan ejemplos similares a los anteriores; ¡simplemente mire a su alrededor (o tome un libro moderno sobre topología algebraica o geometría algebraica)! Sin embargo, otro tipo de ejemplo ilustra otro uso de functores, y creo que es una familia lo suficientemente importante como para enfatizar.

Si los morfismos son relaciones entre objetos, entonces los isomorfismos [matemáticos] f: X \ a Y [/ matemáticos] son ​​relaciones lo suficientemente cercanas como para decir que, para ciertos propósitos y propósitos , los objetos [matemáticos] X [/ matemáticos] y [ matemáticas] Y [/ matemáticas] son ​​casi lo mismo. Por ejemplo, los resultados de clasificación a veces se dan “hasta isomorfismo”. Si hay un morfismo [matemático] g: W \ to Z [/ matemático] en una categoría pero no hay isomorfismo entre [matemático] W [/ matemático] y [matemática] Z [/ matemática], entonces podemos hacer que estos objetos sean isomórficos agregando un inverso a [matemática] g [/ matemática] a la categoría. Compare esto con, por ejemplo, espacios vectoriales: si queremos hacer dos vectores [matemática] v_1, v_2 \ en V [/ matemática] “lo mismo”, tomamos el cociente de [matemática] V [/ matemática] por el subespacios abarcados por [math] v_1 – v_2 [/ math]. “Matamos” algunos vectores, por lo que el cociente tiene “menos” vectores. Sin embargo, para las categorías, generalmente es una mejor idea en lugar de unir los morfismos que hacen que las cosas sean isomorfas. ¡Esta noción de “cociente” (ver: Localización de una categoría) tiene los mismos objetos y más morfismos!

• La localización de una categoría es un functor.

Para obtener más información sobre este, consulte el enlace de Wikipedia anterior. Un sub-ejemplo rápido puede ayudar: cada anillo [matemáticas] R [/ matemáticas] puede considerarse como una categoría con un objeto (sus morfismos son los elementos del anillo, y la composición en la categoría se da por multiplicación en el anillo) . Para cualquier subconjunto multiplicativo (si [math] R [/ math] es conmutativo; más generalmente, un conjunto de localización en el sentido de: condición de mineral) [math] S \ subset R [/ math], podemos formar la localización [math ] R [S ^ {- 1}] [/ matemáticas]. La inclusión [math] R \ to R [S ^ {- 1}] [/ math] es un homomorfismo de anillos. Como recordará del álgebra conmutativa, la localización convierte elementos de [math] S [/ math] en unidades. Las unidades para la multiplicación se convierten en isomorfismos en las categorías asociadas a [matemáticas] R [/ matemáticas] y [matemáticas] R [S ^ {- 1}] [/ matemáticas]. El homomorfismo de localización es el ejemplo básico (de hecho, de motivación) de la noción de cociente de categoría descrita anteriormente. Esta técnica se utiliza en todas partes en la teoría de la representación, la geometría algebraica y la topología algebraica (por ejemplo, en la definición de categorías derivadas).

Estas son solo dos de las muchas formas de pensar acerca de los functores, pero deberían ser suficientes para comenzar. En caso de que estés aburrido:

Ejercicio: como se explicó anteriormente, hay una categoría [matemática] \ matemática {C} [/ matemática] cuyos objetos son todas categorías y cuyos morfismos son todos functores. ¿Qué es un functor [math] \ mathcal {C} \ to \ mathcal {C} [/ math]?