Puede derivar las fórmulas de forma iterativa. Suponga que [math] \ sum_ {i = 1} ^ ni ^ k = f_k (n) [/ math]. Luego
[matemáticas] f_k (n) = \ sum_ {i = 1} ^ ni ^ k = \ sum_ {i = 1} ^ ni \ cdot i ^ {k-1} [/ math]
[matemáticas] = \ sum_ {j = 1} ^ n \ sum_ {i = j} ^ ni ^ {k-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {j = 1} ^ n (f_ {k-1} (n) -f_ {k-1} (j-1)) [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que [math] f_ {k-1} (n) [/ math] tiene grado [math] k [/ math]. Suponga que [matemáticas] f_ {k-1} (n) = f_ {k-1,0} + f_ {k-1,1} n + \ cdots + f_ {k-1, k} n ^ k [/ matemáticas] .
Luego
[matemáticas] f_k (n) = nf_ {k-1} (n) – \ sum_ {j = 1} ^ {n-1} f_ {k-1} (j) [/ matemáticas]
[matemática] = nf_ {k-1} (n) – \ sum_ {j = 1} ^ {n-1} f_ {k-1,0} + f_ {k-1,1} j [/ matemática] [ matemáticas] + \ cdots + f_ {k-1, k} j ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] = nf_ {k-1} (n) – (f_ {k-1,0} f_0 (n-1) + f_ {k-1,1} f_1 (n-1) [/ matemáticas] [matemáticas ] + \ cdots +
f_ {k-1, k} f_k (n-1)) [/ matemáticas]
[matemáticas] f_k (n) + f_ {k-1, k} f_k (n) -n ^ k f_ {k-1, k} = [/ matemáticas] [matemáticas] nf_ {k-1} (n) – (f_ {k-1,0} f_0 (n-1) + f_ {k-1,1} f_1 (n-1) [/ matemáticas] [matemáticas] + \ cdots + f_ {k-1, k-1 } f_ {k-1} (n-1)) [/ matemáticas]
y finalmente,
[matemáticas] f_k (n) = \ frac {1} {1 + f_ {k-1, k}} (n ^ k f_ {k-1, k} + nf_ {k-1} (n) [/ matemáticas ] [matemáticas] – (f_ {k-1,0} f_0 (n-1) + f_ {k-1,1} f_1 (n-1) [/ matemáticas] [matemáticas] + \ cdots + f_ {k- 1, k-1} f_ {k-1} (n-1))) [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {1 + f_ {k-1, k}} (n ^ k f_ {k-1, k} + nf_ {k-1} (n) [/ matemáticas] [matemáticas] + (f_ {k-1,0} + f_ {k-1,1} n + \ cdots + f_ {k-1, k-1} n ^ {k-1}) [/ matemáticas] [matemáticas] – ( f_ {k-1,0} f_0 (n) + f_ {k-1,1} f_1 (n) [/ matemáticas] [matemáticas] + \ cdots + f_ {k-1, k-1} f_ {k- 1} (n))) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {1 + f_ {k-1, k}} (n ^ k f_ {k-1, k} + nf_ {k-1} (n) [/ matemáticas] [matemáticas] + f_ {k-1} (n) -f_ {k-1, k} n ^ {k} [/ matemáticas] [matemáticas] – (f_ {k-1,0} f_0 (n) + f_ {k- 1,1} f_1 (n) [/ matemáticas] [matemáticas] + \ cdots + f_ {k-1, k-1} f_ {k-1} (n))) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {1 + f_ {k-1, k}} ((n + 1) f_ {k-1} (n) [/ matemáticas] [matemáticas] – (f_ {k-1 , 1} f_1 (n) [/ matemáticas] [matemáticas] + \ cdots + f_ {k-1, k-1} f_ {k-1} (n))) [/ matemáticas]
Esto parece aterrador, pero todo lo que dice es que puede derivar la siguiente fórmula a partir de los coeficientes de la anterior (sin una suma), así que sí, de hecho siempre tiene una forma cerrada, en el sentido de que siempre podríamos encontrar la exacta polinomio. Sin embargo, no creo que haya alguna forma de escribir un formulario cerrado que funcione para * all * k simultáneamente.
Este código MATLAB:
k = 3;
n = 3;
a = ceros (k, k + 1);
a (1,1: 2) = [. 5, .5];
para i = 2: k
% a (i, i) = a (i, i) + a (i-1, i);
a (i, 2: i + 1) = a (i, 2: i + 1) + a (i-1,1: i);
ai,:)
a (i, 1: i) = a (i, 1: i) + a (i-1,1: i);
ai,:)
para ii = 1: i-1
a (i, 1: ii + 1) = a (i, 1: ii + 1) -a (ii, 1: ii + 1) * a (i-1, ii);
ai,:)
a (i-1, ii)
final
a (i,:) = a (i,:) / (1 + a (i-1, i));
final
un
x = (n * unos (1, k + 1)). ^ (1: k + 1);
aa = ceros (k, 1);
para i = 1: k
aa (i) = suma ((1: n). ^ (i * ones (1, n)));
final
Automóvil club británico
a * x’-aa
generará una matriz a que tiene los coeficientes de los polinomios para f_1 hasta f_k, y prueba los polinomios para el n especificado. Este procedimiento debería ser más o menos equivalente a la solución de A Arun Prasath, aunque no requiere saber nada sobre los números de Bernoulli. Sin embargo, uno podría derivar fácilmente los números de Bernoulli de este procedimiento.
