La respuesta será CERO.
En primer lugar, la enésima raíz de la unidad se denota (en forma compleja) como
Z j = cos (2 * pi * j / n) + i sen (2 * pi * j / n)
donde j = 0, 1, 2, …, n-1
En este caso, la raíz será Z j = cos (2 * pi * j / 2015) + i sin (2 * pi * j / 2015)
para j = 0, 1, 2,…, 2014
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Supongamos que necesitamos encontrar el késimo poder de todas las raíces de la unidad de 2015.
Ahora, ( Z j ) ^ k = [cos (2 * pi * j / 2015) + i sin (2 * pi * j / 2015)] ^ k
Según el teorema de D ‘Moivre,
[cos (x) + i sin (x)] ^ k = cos (kx) + i sin (kx)
Del mismo modo, ( Z j ) ^ k = [cos (2 * pi * j * k / 2015) + i sen (2 * pi * j * k / 2015)]
= [cos (m j ) + i sen (m j )] donde (2 * pi * k / 2015) = m
= [cos (m) + i sen (m)] ^ j aplicando D ‘Moivre’s nuevamente
= Z ^ j donde Z = cos (m) + i sen (m)
Entonces, la suma del poder número k de todas las raíces de la unidad de 2015 será
S = ( Z 0) ^ k + ( Z 1) ^ k + ( Z 2) ^ k +… + ( Z 2014) ^ k
= Z ^ 0 + Z ^ 1 + Z ^ 2 +… + Z ^ 2014
= 1 + Z ^ 1 + Z ^ 2 +… + Z ^ 2014
= ( Z ^ 2015 – 1) / ( Z – 1) (suma de series en GP)
= [(cos (m) + i sin (m)) ^ 2015 – 1] / ((cos (m) + i sin (m) – 1)
= [cos (2015m) + i sin (2015m) – 1] / ((cos (m) + i sin (m) – 1)
= [cos (2 * pi * k ) + i sen (2 * pi * k ) – 1] / ((cos (m) + i sin (m) – 1)
Ahora, para cualquier valor de k , el numerador resulta ser cero y la suma también.
Por lo tanto, la suma del poder número 195 de todas las raíces de la unidad de 2015 siempre será cero.
Gracias. A2A Srikanth Shankar.
