¿Cuáles son algunos campos olvidados de las matemáticas?

Teoría invariante.

La teoría invariante fue un campo de investigación próspero en la segunda mitad del siglo XIX. Remontó sus orígenes en el trabajo de Gauss sobre formas cuadráticas binarias en Disquisitiones Arithmeticae , y presentó una larga e ilustre lista de contribuyentes: Boole, Cayley, Hermite, Noether (Max, el padre, no Emmy, la hija), y Gordan, el ” Rey de las invariantes “. En su apogeo, un joven profesor asistente llamado David Hilbert publicó un artículo que prueba el teorema de las bases finitas , el logro de la corona tan buscado del campo que había eludido incluso al gran Gordan, que pronto sonó el toque mortal de la teoría invariante. Era un pequeño precio a pagar, según la historia, porque en ese artículo Hilbert abogó por un método de prueba y una filosofía de hacer matemáticas que se convertiría en el paradigma dominante en el siglo XX.

Una invariante es algo que una clase particular de funciones no modifica. Por ejemplo, el determinante de una forma cuadrática es invariante. La teoría invariable estudió las cantidades asociadas con las ecuaciones polinómicas, y que quedaron invariables bajo las transformaciones de las variables (las variables a menudo se transforman para hacer que las expresiones algebraicas sean más esclarecedoras, destacando las conexiones entre expresiones aparentemente diferentes y permitiendo su clasificación, por ejemplo).

Una revisión rápida de los conceptos básicos de la teoría invariante sugerirá intuitivamente un fuerte énfasis en cálculos algebraicos tediosos y explícitos, según sea necesario para avanzar en el campo. Este método se utilizó desde el principio (tal vez también influenciado por el estilo altamente computacional de Gauss), pero pronto fue reemplazado por el enfoque “simbólico” de la escuela alemana que les permitió obtener expresiones formales que simplificaron mucho la manipulación de los invariantes. El enfoque simbólico reduce significativamente, pero no elimina, el cálculo de rutina. Por lo tanto, los alemanes hicieron grandes avances por un tiempo, culminando con el cálculo de prueba a través de heroico de Paul Gordan del teorema de finitud para formas binarias (polinomios en dos variables), pero pronto encalló. Gordan intentó durante veinte años generalizar su resultado a polinomios con más de dos variables y fracasó. El progreso en la teoría invariante pronto se convirtió en una cuestión de mejorar las técnicas existentes para calcular invariantes. Algunos dudaron del resultado que Gordan buscaba, el así llamado teorema de base finita en general, se demostraría alguna vez.

Hilbert se dio cuenta de que la enorme dificultad de los cálculos requería un camino diferente del explícitamente construccionista que se había empleado hasta ahora. Continuó proporcionando una prueba del teorema de base finita que no era constructivo : en lugar de construir la base, como Gordan había hecho veinte años antes para el caso de las formas binarias, Hilbert simplemente demostró que la suposición de que no existe conduce a una contradicción, usando la ley del medio excluido sobre conjuntos infinitos ‘. Sus métodos fueron lo suficientemente revolucionarios como para que los principales expertos de la época no apreciaran de inmediato su importancia, con Gordan afirmando que ” esto no es matemática, es teología “.

Ayudado por otros desarrollos en diferentes áreas, Hilbert finalmente pudo publicar una prueba constructiva del teorema de base finita. Gordan y el resto finalmente aceptaron sus resultados como válidos (Gordan diría más tarde en referencia a su comentario “no matemático sino teológico” que ” me he convencido de que incluso la teología tiene sus méritos “). En 1893, Hilbert afirmó explícitamente haber cumplido todas las tareas principales de la disciplina, y de hecho abandonó toda investigación en teoría invariante a partir de entonces, aumentando rápidamente su estatura para convertirse en el principal matemático de su época. La teoría invariante y el enfoque algorítmico característico de sus practicantes han sido declarados muertos tras los logros de Hilbert, lo que finalmente despeja el camino hacia el surgimiento del nuevo álgebra estructural.

Entonces, ¿cuál es un ejemplo de matemáticas olvidadas, preguntas? La teoría invariante es tu respuesta.

Por supuesto, la historia nunca es tan simple. Para una lectura informativa que destruye los mitos sobre la historia de Hilbert y la teoría invariante, vea La teología y sus descontentos de Colin McLarty: el mito del origen de las matemáticas modernas. Para una introducción accesible a los conceptos básicos de la teoría invariante, vea este artículo.

La geometría descriptiva fue inventada por el matemático francés Gaspard Monge a fines del siglo XVIII. Monge también fue el fundador de la École Polytechnique en París, Francia. La geometría descriptiva es un procedimiento gráfico y matemático que ayuda a visualizar estructuras y su representación precisa en dibujos. Los sólidos tridimensionales se proyectan sobre una superficie plana para resolver problemas espaciales mediante el uso de métodos gráficos.
Un objeto en 3D se traduce en una representación 2D de ese mismo objeto. Tal representación se llama vista.

A continuación se muestra un ejemplo simple de lo que se llama una ‘Vista de borde’ de la forma ABC (fuente de la imagen: Wikilibros, libros abiertos para un mundo abierto):

Y a continuación se muestra un ejemplo de representaciones 2D del mismo objeto 3D (fuente de la imagen: Archivo: DALLA.GIF):

Las técnicas de geometría descriptiva se utilizan en ingeniería, diseño y arquitectura.

Desde un punto de vista histórico, Monge asignó muchas horas curriculares a la enseñanza de la geometría descriptiva en la École Polytechnique , pero con el tiempo otras disciplinas científicas y matemáticas ganaron importancia y la enseñanza de la geometría descriptiva disminuyó, especialmente con el surgimiento de nuevas disciplinas como como geometría proyectiva.

Otro campo matemático o disciplina menos conocido o menos utilizado por el no especialista es la geometría hiperbólica, también llamada geometría lobachevskiana. Esta es una geometría no euclidiana que fue explorada principalmente por János Bolyai y Nikolai Lobachevsky en el siglo XIX. En esta geometría, una línea tiene al menos dos paralelos a través de un punto dado; se puede representar como la geometría de líneas en una silla de montar.

La suma de los ángulos de un triángulo hiperbólico es inferior a 180 grados. La imagen a continuación muestra un triángulo hiperbólico (fuente de la imagen: Wolfram Demonstrations Project):

Otra geometría no euclidiana, la geometría riemanniana, se conoce mejor porque está asociada con los tensores y con la teoría general de la relatividad.

Una herramienta o método matemático más que no se usa comúnmente hoy en día es el Método del agotamiento. Este método se usó principalmente antes de la invención del cálculo infinitesimal para encontrar “el área de una forma al inscribir dentro de ella una secuencia de polígonos cuyas áreas convergen al área de la forma que lo contiene” (de Wikipedia).
Este método fue utilizado por Euclides y también por Arquímedes, que lo usó para calcular el área dentro de un círculo.

A continuación se muestra un ejemplo del método de agotamiento utilizado por Arquímedes para encontrar una aproximación del valor de pi (fuente de la imagen: Archivo: Archimedes pi.svg):

Con respecto a los cuaterniones, que extienden los números complejos, también hay entidades menos conocidas llamadas octoniones (rima con y contiene ‘cebollas’), que tienen ocho dimensiones y son una extensión de los cuaterniones.

Un Octonion [math] x [/ math] puede representarse en la forma (imagen de ecuación de Wikipedia):

donde los coeficientes [math] x_k [/ math] son ​​reales.

Las álgebras de dimensiones superiores incluyen sedeniones, que son estructuras algebraicas de 16 dimensiones.

Sedenion se puede escribir en la forma (imagen de ecuación de Wikipedia):

donde [math] e_k [/ math] son ​​sedeniones de unidad.

La geometría era “la” forma de realizar el cálculo.

Arquímedes y Pappus se sentían muy cómodos cuando podían reemplazar un largo cálculo con una elegante construcción geométrica. Puede leer Euclides elementa como un método completo para convertir la computación con números (suma, multiplicación, división, raíz cuadrada, ecuaciones cuadráticas, …) en soluciones geométricas. El Antikythera, el Quadratrix, el Almagest, los compas perfectos de Al-Quhi [el artículo de Wikipedia en francés que necesita una traducción al inglés en la que los dibujos se explican por sí mismos] para dibujar cualquier sección cónica: líneas rectas, círculos, elipses, parábolas e hipérbolas , Estudio sistemático de Omar Khayyam sobre ecuación cúbica (bastante pesado porque para él [matemáticas] x ^ 3 + 3x = 3 x ^ 2 + 1 [/ matemáticas] no tenía nada que ver con [matemáticas] x ^ 3 -3 x ^ 2 + 3x – 1 = 0 [/ matemática]), la geometría descriptiva se consideraba como herramientas informáticas tanto como hoy consideramos las computadoras (computadoras analógicas).

Esto termina con el libro Al Jaber (Álgebra) de Al Khwarizmi (Alg u orithm) que promueve el cálculo por dígito (heredado de India, heredado de China, … heredado de Mezopotamia). Su objetivo era la superioridad del dígito sobre el ábaco, pero Descartes comenzó a reemplazar la longitud y el área por números con geometría analítica, comenzando un proceso que culminó con Hilbert [El cálculo reemplaza, mientras la geometría estimula, pensando -Jakob Steiner (1796-1863)]. Hoy, la computación analógica con geometría casi ha desaparecido para ser más eficiente, al igual que la regla de cálculo, el sector, el nomograma, …

Esto no quiere decir que todo en el otro lado permanezca. Quien usa los huesos de Napier, una Pascalina, una Curta, quien sabe que el cálculo es el latín para el guijarro (interesante de leer: el primer precursor de la escritura fue matemática) y quién recuerda la Raddología de Napier (lo siento en latín y puede saltar al tercer libro) en la página 211) de 1623 contiene una de las formas más eficientes de escribir y calcular con números binarios (intente la aritmética de ubicación en lugar de sus dedos la próxima vez que utilice 0,1,2,3, .. 9, a, b, c, d, e, f).

Cuaterniones Si no recuerdo mal, son anteriores al álgebra lineal abstracta y dejaron de usarse a favor de los vectores, aunque parece que recientemente han regresado en algunas áreas (vea los comentarios en esta respuesta).

Los cuaterniones son una expansión de números complejos. Si se piensa que un número complejo representa una rotación en el espacio 2D (usando el plano complejo 2D), entonces un cuaternión representa una rotación en el espacio 4D compuesto por el plano complejo con dos ejes complejos adicionales (llámelos j y k ).

¿Qué tienen de especial los cuaterniones? Bueno, las rotaciones en 2D no son muy generales, dado que vivimos en el espacio 3D y con frecuencia encontramos rotaciones sobre diferentes ejes. Los cuaterniones permiten rotaciones en el espacio 4D con todos los beneficios de los números complejos (el principal beneficio es que puede reducir las rotaciones a multiplicación). La cuarta dimensión es necesaria para garantizar que los productos imaginarios ( ij , jk y ki ) tengan un lugar al que ir además de ± 1 (lo que implicaría que j = i o j = – i , en contra de la suposición de que j es su propia dimensión ) o ellos mismos (± i o ± j ) (lo que implicaría que j = 1, nuevamente, contrario a la suposición de que j es su propia dimensión).

Desafortunadamente, la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa (lo que debería esperarse dado que las rotaciones en más de dos dimensiones no son conmutativas), lo que hace que los cuaterniones sean menos algebraicamente agradables que los números complejos (por ejemplo, no forman un campo debido a su no conmutatividad y, por lo tanto, no se puede utilizar para hacer espacios vectoriales).

Ver también: La respuesta de Drew Henry a ¿Qué son los cuaterniones?

El álgebra booleana, la lógica proposicional y otras formas de matemática que se ocupan de la lógica de forma abstracta son vistas principalmente por matemáticos y científicos de la computación. Aunque probablemente también surja en ciertas áreas de la psicología … A menudo se les enseña brevemente en la clase de geometría como base para las pruebas, pero no muchos detalles.

¿Cuándo son dos declaraciones realmente la misma declaración? ¿Puedo reducir una declaración compleja a una más simple? ¿Cuáles son las variables principales detrás de esta declaración compleja? En informática, encontrar diferentes formas de decir lo mismo puede ser importante porque una forma puede ser más eficiente que otra. El “lenguaje de las verdades y los falsos” también se adapta muy directamente al “lenguaje de 1s y 0s”.

Muchas de las artes de la aritmética han desaparecido, con la llegada de los sistemas y unidades decimales.

El sistema de fracciones agregadas, que proporciona el vínculo entre fracciones vulgares y decimales, se pierde. Incluso se pierde el arte de calcular con fracciones egipcias, o el sistema alterno de sumerios y mayas.

Las diversas artes asociadas con la regla de cálculo y las tablas de logritmos se pierden en gran medida.

En gran medida, que tenía que escribir mi propia aritmética para manejar una base tan grande como 120, con nada más que una tabla de 12 × 12.