TL; DR: es igual a 9.
Esto es
[matemática] \ left (4 \ sqrt {4 + 2 \ sqrt {3}} – \ sqrt {49 + 8 \ sqrt {3}} \ right) ^ 2 [/ math]
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Queremos convertir [matemáticas] 4 + 2 \ sqrt {3} [/ matemáticas] en un cuadrado perfecto. Un formato de un cuadrado perfecto es [matemática] a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ matemática]. [math] 2 \ sqrt {3} [/ math] es la parte 2ab, con [math] 2 \ cdot1 \ cdot \ sqrt {3} [/ math]. [matemática] 1 ^ 2 [/ matemática] es 1, por lo que podemos restar 1 de 4. 3 es [matemática] \ sqrt {3} ^ 2 [/ matemática], entonces [matemática] 4 + 2 \ sqrt {3} [/ math] es un cuadrado perfecto.
[matemáticas] 4 + 2 \ sqrt {3} = \ sqrt {3} ^ 2 + 2 \ sqrt {3} +1 [/ matemáticas].
Esto se puede convertir en [matemáticas] (\ sqrt {3} +1) ^ 2 [/ matemáticas]
La ecuación es ahora
[matemáticas] \ left (4 \ sqrt {(\ sqrt {3} +1) ^ 2} – \ sqrt {49 + 8 \ sqrt {3}} \ right) ^ 2 [/ math]
La raíz cuadrada cancela el cuadrado, por lo que obtienes
[matemática] \ left (4 (\ sqrt {3} +1) – \ sqrt {49 + 8 \ sqrt {3}} \ right) ^ 2 [/ math].
¿Qué pasa con [matemáticas] 49 + 8 \ sqrt {3} [/ matemáticas]? [matemáticas] 8 \ sqrt {3} = 2 \ cdot1 \ cdot4 \ sqrt {3} [/ matemáticas]. [matemáticas] 1 ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. [matemáticas] 49-1 = 48 [/ matemáticas]. [matemáticas] 4 \ sqrt {3} = 16 \ cdot3 = 48 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] 49 + 8 \ sqrt {3} [/ math] también es un cuadrado perfecto.
[matemáticas] 49 + 8 \ sqrt {3} = (4 \ sqrt {3} +1) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemática] \ left (4 (\ sqrt {3} +1) – \ sqrt {(4 \ sqrt {3} +1) ^ 2} \ right) ^ 2 [/ math].
Una vez más, la raíz cuadrada cancela el cuadrado, por lo que obtienes
[matemática] \ left (4 (\ sqrt {3} +1) – (4 \ sqrt {3} +1) \ right) ^ 2 [/ math].
Simplifica, y obtienes
[matemática] \ left (4 \ sqrt {3} + 4-4 \ sqrt {3} -1 \ right) ^ 2 [/ math].
[matemática] \ left (4 \ sqrt {3} -4 \ sqrt {3} + 4-1 \ right) ^ 2 [/ math].
[matemática] \ izquierda (4-1 \ derecha) ^ 2 [/ matemática].
[matemáticas] \ izquierda (3 \ derecha) ^ 2 = 9. [/ matemáticas]
La respuesta final es 9.
