Supongo que te refieres a la gráfica de una función [matemáticas] y (x) [/ matemáticas].
Esta es una muy buena pregunta y te llevará a algunos de los conceptos más importantes del cálculo. Intentaré mantenerlo simple e intuitivo. Puede encontrar explicaciones y definiciones más formales en línea (por ejemplo, en khan academy o wikipedia).
Asumiré que la función es continua (una sola curva sin “saltos”) y “suave” (sin esquinas afiladas).
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El punto más bajo (el mínimo global) puede estar en uno de los extremos si la curva tiene un rango finito; puede estar indefinido si la función sigue disminuyendo a medida que [math] x [/ math] va hacia el infinito o infinito negativo; o puede ser un punto en algún lugar de la curva (por ejemplo, [matemática] y = x ^ 2 [/ matemática] tiene un mínimo en [matemática] x = 0 [/ matemática]). Este último caso es el más interesante. Llamamos a este tipo de punto un mínimo local . Podemos encontrar todos los mínimos locales y tomar el más bajo.
Tenga en cuenta que, como mínimo local, la curva debe ser “plana”: de izquierda a derecha, deja de disminuir, permanece igual durante un momento (quizás solo en el punto mínimo) y luego vuelve a aumentar. Eso significa que en ese punto [matemática] x [/ matemática], [matemática] y (x) [/ matemática] y [matemática] y (x + h) [/ matemática] si [matemática] h [/ matemática] es un número positivo muy muy pequeño debe estar muy cerca de ser igual. Por supuesto, si la función es agradable y suave y [matemática] h [/ matemática] es lo suficientemente pequeña, [matemática] y (x) [/ matemática] y [matemática] y (x + h) [/ matemática] siempre estar muy cerca el uno del otro. Necesitamos tener en cuenta la escala relativa de [matemáticas] h [/ matemáticas]. Lo que hacemos es considerar la fracción [math] \ displaystyle \ frac {y (x + h) -y (x)} {h} [/ math]. Luego tomamos el límite de esto ya que [math] h [/ math] va a [math] 0 [/ math]. Llamamos a esto la derivada de [math] y [/ math], y típicamente lo escribimos como [math] y ‘(x) [/ math]:
[matemáticas] y ‘(x) = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {y (x + h) -y (x)} {h} [/ matemáticas]
Lo que esto nos dice es, para un punto dado [matemática] x [/ matemática], si cambiamos [matemática] x [/ matemática] en una pequeña cantidad, ¿cuánto cambiaría [matemática] y [/ matemática]? Si dibuja esto para un ejemplo simple, puede ver que [math] y ‘(x) [/ math] nos dice cuán empinada es la curva en un punto. Nos da la pendiente de la curva.
Entonces podemos calcular [matemáticas] y ‘(x) [/ matemáticas] para nuestra función dada (para cualquier función típica que pueda encontrar en la clase de cálculo hay muchas reglas que lo hacen fácil), encuentre todos los puntos para which [math] y ‘(x) = 0 [/ math] y toma la que tiene la [math] y (x) [/ math] más pequeña. Si la función tiene puntos finales (por ejemplo, [matemática] y = \ sqrt {x} [/ matemática] que termina en [matemática] x = 0 [/ matemática]) también necesitamos calcular la [matemática] y [/ matemática ] -valores en los puntos finales, y si se define para [matemática] x [/ matemática] que va al infinito o al infinito negativo, debemos verificar si sigue disminuyendo mientras avanzamos hacia allí (solo podemos verificar el signo de [ matemática] y ‘(x) [/ matemática]: si siempre es negativa para lo suficientemente grande [matemática] x [/ matemática], la curva sigue bajando a medida que [matemática] x [/ matemática] va hacia el infinito y si es siempre positivo para [math] x [/ math] siendo un número negativo suficientemente grande, la curva sigue bajando a medida que [math] x [/ math] va hacia el infinito negativo. En cualquiera de esos casos no hay un mínimo en la curva.
