La conjetura de Harbourne-Hirschowitz es una conjetura sobre series lineales sobre explosiones del plano proyectivo en puntos generales.
A modo de ejemplo, supongamos que hacemos la pregunta: ¿cuál es la dimensión del espacio vectorial del espacio de las curvas cónicas planas singulares en cada uno de los dos puntos dados?
Una suposición inicial sería que la dimensión es cero, es decir, no hay ninguna. Podrías adivinar esto al notar que el espacio de las cónicas es de 6 dimensiones (una dimensión para cada coeficiente de un polinomio cuadrático en dos variables) y que son 3 condiciones lineales para que la cónica sea singular en un punto dado: es 1 condición para que la cónica pase por un punto, y 2 más para que cada una de las derivadas parciales de la cónica desaparezca. En total, son 6 condiciones para ser singulares en dos puntos, y sospecharías que no hay tales cónicas.
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Sin embargo, el problema es que estas 6 condiciones no son independientes. Y de hecho, hay una cónica singular en cada uno de los dos puntos dados. Puede parecer una trampa, pero la doble línea (la “cónica” dada por el cuadrado de una forma lineal) que pasa por los dos puntos es singular en ambos puntos (de hecho, es singular en todas partes).
Para otro ejemplo, ¿cuántos cuartos cónicos planos (curvas de grado 4) son singulares en cada uno de los 5 puntos? Aquí hay un espacio tridimensional de cuartos, y nuevamente tenemos condiciones 5 * 3 = 15, por lo que sospecharías que no hay tales cuartos. Y de nuevo, se equivocaría, ya que hay una cónica que pasa por 5 puntos, y el doble de esa cónica es un singular de cuarto en los 5 puntos.
En cada caso, lo que salió mal fue que existía esta doble curva. La conjetura de Harbourne-Hirschowitz afirma que esto es lo único que puede salir mal: si nuestro recuento de dimensiones ingenuo es incorrecto, es porque cada curva que tiene las singularidades prescritas en realidad contiene una curva doble.
