Con respecto a la primera teoría del isomorfismo, ¿cómo puedo probar que [matemáticas] | G / K | = | \ phi (G) | [/ matemáticas]?

El primer teorema del isomorfismo afirma. Que G y H sean grupos,

[matemáticas] \ phi: G \ a H [/ matemáticas] es un homomorfismo

1. El núcleo de [math] \ phi [/ math] es un subgrupo normal de G
2. La imagen de [math] \ phi [/ math] es un subgrupo de H
3. La imagen de [math] \ phi [/ math] es isomorfa al grupo cociente [math] \ frac {G} {ker (\ phi)} [/ math]

[matemáticas] \ phi (G) [/ matemáticas] es la imagen de G

• Si [math] | zi | \ leq2 [/ math] y [math] z_1 = 13 + 5i [/ math] entonces el valor máximo de [math] | iz + z_1 | = [/ math]? ([matemática] z [/ matemática] y [matemática] z_1 [/ matemática] son ​​números complejos)
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Si dos cosas son isomorfas, entonces su orden es el mismo, hay una biyección entre ellas.

Cómo probar el primer teorema de isomorfismo

Prueba:

denotar [matemáticas] \ theta: \ frac {G} {K} \ to \ phi (G), gK \ to \ phi (g) [/ math]

el mapa está bien definido porque si [math] g ^ {‘} K = gK \ implica g ^ {‘} = gk \ textrm {para algunos} k \ en K [/ math]

entonces [math] \ phi (g ^ {‘}) = \ phi (gk) = \ phi (g) \ phi (k) = \ phi (g) \ phi_ {e} = \ phi (g) [/ math ]

es un homomorfismo porque

[matemáticas] \ theta (gKg ^ {‘} K) = \ theta (gg ^ {‘} K) \ textrm {multiplicación de coset} [/ math]

[math] = \ phi (gg ^ {‘}) \ textrm {definición de} \ theta [/ math]

[matemáticas] = \ phi (g) \ phi (g ^ {‘}) \ phi \ textrm {es un homomorfismo} [/ math]

[matemáticas] = \ theta (gK) \ theta (g ^ {‘} K) \ textrm {definición de} \ theta [/ math]

Mostrar que [math] \ phi [/ math] inyecta significa [math] ker (\ phi) [/ math] es el único elemento trivial K de [math] \ frac {G} {K} [/ math]

Si [math] \ theta (gK) = \ bar {e} \ implica \ phi (g) = \ bar {e} \ por lo tanto g \ in K \ implica gK = K [/ math]

y [math] \ theta [/ math] se superpone porque [math] \ phi (G) = Im (\ phi) [/ math]

entonces [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] es un isomorfismo