Si Discutiré solo las operaciones conmutativas que, definidas para un conjunto, mapean un subconjunto de ese conjunto en un solo elemento de ese conjunto.
Operaciones binarias .
La igualdad matemática es bidireccional [matemática] \ alpha [/ matemática] asociada con la asociatividad bidireccional [matemática] \ alfa [/ matemática], pero debido a que la igualdad matemática es bidireccional, no es bidireccional [matemática] \ alfa [/ matemática] – asociado con la asociatividad bidireccional [matemática] \ beta [/ matemática], ni está asociada bidireccionalmente [matemática] \ beta [/ matemática]. Por lo tanto, [[matemáticas] a = b] = _ {\ alpha} [a \ implica b] \ land _ {\ alpha} [b \ implica a] [/ matemáticas] & c. , todo en la misma fe. Gracias a Cantor y que la modalidad [math] \ alpha [/ math] otorga la asociatividad completa de la fe, hemos definido en la fe que [math] [a = b] = 1 [/ math], todo donde los corchetes encierran Propuestas Particulares . Redactar esa fe, por lo tanto, es redactar los axiomas de Peano, lo cual es un acto de poca utilidad para nosotros aquí; la unidad mínima de asociatividad es una proposición de la forma [matemáticas] [[/ matemáticas] [matemáticas] a = b] [/ matemáticas]. Llamaremos a esta unidad Henning .
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Ahora, para algunos operadores numéricos binarios [math] \ cdot [/ math], tenemos que [math] \ cdot [/ math] es ‘asociativo’ si para [math] a, b, c [/ math], elementos de conjunto en el que opera [matemáticas] \ cdot [/ matemáticas], que [matemáticas] (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) [/ matemáticas]. Esta igualdad se puede evaluar solo para un Henning como consecuencia de que el operador es binario, por lo que debemos tener en cuenta. Definimos la asociatividad, [math] \ aleph [/ math], entonces, para que sea igual al número de asociaciones dividido por el número de asociaciones posibles. Baste decir que [math] \ aleph \ in \ {0, 1 \} [/ math].
N-nary operaciones .
Los operadores N-narios son poco conocidos, el hecho que es en parte responsable de que una ‘serie infinita’ se defina igual al límite infinito de la suma de sus términos; tenga cuidado de no extrapolar lejos de lo que está escrito aquí.
Para una operación n-nary asociativa, la primera ‘división’ asociativa ocurre cuando toma la segunda iteración de la operación, que siempre involucrará variables [matemáticas] 2n – 1 [/ matemáticas]. Como siempre agrupará las variables [math] n [/ math] para la operación anterior y dejará que [math] n – 1 [/ math] pase solo al operador, la cantidad de formas posibles de asociar las variables en la segunda la iteración es [matemática] 2n – 1 [/ matemática] elija [matemática] n [/ matemática], o [matemática] \ frac {(2n-1)!} {(n-1)! n!} [/ matemática] . Esto permite [matemáticas] \ frac {(2n-1)!} {(N-1)! N!} – 1 [/ matemáticas] ecuaciones relevantes como máximo, lo que significa que [matemáticas] \ aleph_n \ propto (\ frac {(2n-1)!} {(N-1)! N!} – 1) ^ {- 1} [/ math], cuantificando el valor de [math] \ aleph [/ math] para cualquier [math] n [/matemáticas]. El numerador es nuevamente el número de esas ecuaciones que se mantienen.
El Henning es análogo al grado de libertad .
Operaciones sobre números reales .
Para operaciones con números reales, podemos extender el dominio de [math] \ aleph [/ math] a [math] [0, 1] \ in \ mathbb {R} [/ math] fácilmente, pero genera problemas cuando Intente utilizar la salida de funciones que permitan comparar las asociatividades de diferentes operadores. Si una conformación de la asociación es [matemática] f_1 ({\ chi}) [/ matemática] y otra es [matemática] f_2 ({\ chi}) [/ matemática] para [matemática] \ chi [/ matemática], un conjunto de [math] 2n-1 [/ math] variables reales, luego, bajo asociación, esperamos que [math] f_1 ({\ chi}) = f_2 ({\ chi}) [/ math]. Podemos probar fácilmente esto calculando el valor promedio de [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] f_1 ({\ chi}) – f_2 ({\ chi})) ^ 2 [/ matemáticas], que sería [ matemáticas] 0 [/ matemáticas] para un par de conformaciones perfectamente asociado. El valor promedio podría entonces transformarse en el dominio deseado mencionado anteriormente pasando el valor a una función monotónica bien conservada y que preserva el orden como [math] f (x) = 1 – e ^ {- \ frac {1} {e} } (x + e) ^ {\ frac {1} {x + e}} [/ math], para el número de Euler [math] e [/ math]. El problema surge en que ese proceso de promedio será en última instancia isomorfo a una secuencia de integraciones a través de cada variable en [math] \ chi [/ math], que confunde el promedio resultante dimensionalmente así como en términos del operador: entonces, deberíamos tienen promedios, pero solo deben ser significativos cuando se comparan operaciones de la misma cantidad de variables, e incluso entonces, el proceso de integración explicaría implícitamente la relación entre las operaciones que se comparan, lo que no puede contabilizarse retrospectivamente sin conocer primero la naturaleza de esa relación Tal como están las cosas, tampoco existe una forma general de llevar a cabo ese proceso contable, lo que hace que las métricas más graduadas sean inútiles de derivar en el caso general. Por lo tanto, tendrá que ser suficiente para medir [math] \ aleph [/ math] en Hennings.
Operaciones proposicionales .
Una asociación entre dos proposiciones, [matemática] A [/ matemática] y [matemática] E [/ matemática], puede asociarse a una tercera proposición [matemática] U [/ matemática] asociativamente; [matemática] [[A \ implica E] \ implica U] \ iff [A \ implica [E \ implica U]] [/ matemática], pero solo para asociaciones particularmente definidas. [math] \ alpha [/ math], [math] \ alpha \ beta [/ math] y [math] \ beta [/ math] asociaciones, por ejemplo , no sigan esta regla. Sin embargo, la asociatividad del operador asociativo, [math] \ implica [/ math], puede cuantificarse en Hennings, al igual que las asociaciones numéricas. Para la asociación [math] \ alpha [/ math], donde [math] _ {\ alpha} [A \ implica E] = ^ AE = \ frac {^ m [A \ land E]} {^ mA} [/ math ], la medida de asociatividad [math] \ aleph = 0 [/ math]. Para la asociación [matemática] \ beta [/ matemática] vista a través de una lógica estructurada sobre la asociación [matemática] \ alfa [/ matemática], la implicación bicondicional está prohibida, y nuevamente, [matemática] \ aleph = 0 [/ matemática]. Debido a que es necesario producir una métrica de asociación proposicional que permita una implicación bicondicional para otorgar el sinónimo definido anteriormente, y dado que la asociación [math] \ alpha [/ math] es la única métrica de asociación que se sabe que tiene esa propiedad, quizás sea es poco probable que exista algún tipo de asociación proposicional que constituya operadores binarios asociativos.
