¿Es correcto que cada polinomio de grado impar debe tener al menos una raíz real?

En cada polinomio, el término de grado más alto domina en valor absoluto para valores de x con | x |, suficientemente grande. Técnicamente hablando, si

p (x) = x ^ n + (a_n-1) x ^ (n-1) +… .. + (a_1) x + a_0 es un polinomio de grado n, entonces hay un número real A> 0, de modo que

| x ^ n | > / = | (a_n-1) x ^ (n-1) +…. + (a_1) x + a_0 | para todo x> / = A. La afirmación anterior se puede probar fácilmente usando la forma multiplicativa de la propiedad de los números reales de Arquímedes.

Ahora, si n es impar, esto muestra que p (x) es positivo para todos x> / = A y es negativo para todos x

Por lo tanto, vemos que para valores positivos suficientemente grandes de x, p (x)> 0, y para valores negativos suficientemente grandes (en magnitud) de x, p (x) <0. (La situación se invierte si x ^ n tiene un valor negativo coeficiente)

Ahora, por el teorema del valor intermedio, p (x) debe tener el valor 0, en algún punto entre -A y A. Por lo tanto, cada polinomio de grado impar tiene una raíz real (y esta prueba no utiliza el teorema fundamental del álgebra).

Tengo algo interesante que mostrarte.

Dejar

f (x) = xn + an − 1xn − 1 + ⋯ + a0 [matemática] f (x) = xn + an − 1xn − 1 + ⋯ + a0 [/ matemática] sea un polinomio monico de grado impar. Dejar

f (x) = xng (x) [matemáticas] f (x) = xng (x) [/ matemáticas] para

x ≠ 0 [matemática] x ≠ 0 [/ matemática], donde

g (x) = 1 + an − 1x + ⋯ + a0xn [matemática] g (x) = 1 + an − 1x + ⋯ + a0xn [/ matemática]. por

| x |> 1 [matemáticas] | x |> 1 [/ matemáticas], observe que

| g (x) −1 | ≤ | an − 1 || x | + | an − 2 || x | 2 + ⋯ + | a0 || x | n≤ | an − 1 || x | + | an− 2 || x | + ⋯ + | a0 || x | ≤ax, [matemáticas] | g (x) −1 | ≤ | an − 1 || x | + | an − 2 || x | 2 + ⋯ + | a0 || x | n≤ | an − 1 || x | + | an − 2 || x | + ⋯ + | a0 || x | ≤ax, [/ math]

dónde

a = ∑i = 0n − 1 | ai | [matemáticas] a = ∑i = 0n − 1 | ai | [/ matemáticas]. Así que si

| x |> max {1,2a} [matemáticas] | x |> max {1,2a} [/ matemáticas] entonces

| g (x) −1 | <12 [matemática] | g (x) −1 | <12 [/ matemática] y por lo tanto

12

g (x)> 0 [matemática] g (x)> 0 [/ matemática] para todos

x [matemáticas] x [/ matemáticas] satisfactorio

| x |> max {1,2a} [matemáticas] | x |> max {1,2a} [/ matemáticas]. Si elegimos

b> max {1,2a} [matemáticas] b> max {1,2a} [/ matemáticas] entonces ambos

g (b) [matemáticas] g (b) [/ matemáticas] y

g (−b) [math] g (−b) [/ math] son ​​positivos. Pero entonces

f (b)> 0 [matemáticas] f (b)> 0 [/ matemáticas] y

f (−b) <0 [matemática] f (−b) <0 [/ matemática]. Entonces, por el teorema del valor intermedio, existe un

c∈ [−b, b] [matemática] c∈ [−b, b] [/ matemática] tal que

f (c) = 0 [matemática] f (c) = 0 [/ matemática].

Bastante resume la historia.

Si.

Esto se debe a que un polinomio es una función continua (una función continua es una función tal que su gráfico se puede dibujar sin sacar el lápiz del papel).

Por otro lado, para una x negativa lo suficientemente grande, f (x) es negativa, y para una x positiva lo suficientemente grande, f (x) es positiva. No puede conectar estos dos puntos sin cruzar el eje x al menos una vez.

Si es cierto.

Considere seguir dos hechos:

1. Una ecuación de grado ‘n’ tiene n raíces reales o imaginarias. (Esto implica que un polinomio de grado impar tendrá un número impar de raíces).
2. Las raíces imaginarias siempre aparecen en pares para un polinomio con coeficientes reales.

Entonces, los dos hechos anteriores implican que al menos una de las raíces de un polinomio de grado impar tiene que ser real.

En primer lugar, debe saber que las raíces complejas aparecen solo en pares conjugados. Ahora, supongamos que f (x) es un polinomio con grado ‘n’ (n es impar). Entonces, f (x) tendrá n raíces. Como, n es impar, por lo tanto (n-1) es par. Ahora, como las raíces complejas aparecen solo en pares conjugados, es decir, aparecen incluso no. solo algunas veces, si consideramos que f (x) tiene raíces reales mínimas, f (x) solo puede tener 1 raíz real y las raíces restantes serán números complejos [ya que (n-1) es par]. Por ejemplo, si tomamos, n = 3, el mínimo no. de raíces reales que f (x) puede tener es 1 y en este caso las otras dos raíces serían números complejos (conjugados entre sí). Pero, si decimos que f (x) tiene 2 raíces reales y 1 raíz compleja, no es posible. Porque, 1 raíz compleja no se puede emparejar con su conjugado. O las 3 raíces serán reales. De manera similar, si n = 5, f (x) tendrá 1 raíz real, 4 raíces complejas o 3 raíces reales, 2 raíces complejas o las 5 raíces serán reales y así sucesivamente. Y un polinomio con grado 1 (aquí, n = 1) tiene solo una raíz real 1.

Entonces, un polinomio de grado impar puede tener al menos una raíz real. Además, puede tener más de una raíz real pero de tal manera que las raíces restantes (complejas) se puedan emparejar. O todas las raíces serían números reales.

Espero que lo entiendas ..

PD: siéntase libre de comentar si tiene alguna consulta al respecto.

¡Gracias!

Si y solo el polinomio tiene un coeficiente real. Como si las raíces complejas siempre aparecieran en el par bcz del poli en coeficiente real. Por lo tanto, el grado impar poli debe tener una raíz real o, de lo contrario, si es complejo, el coeficiente se convertirá en imaginario.

Debido a que las raíces imaginarias siempre existen en pares conjugados. Por lo tanto, para polinomios de grado impar tiene una raíz real.

si

Se ha explicado simplemente en este video: