Entonces entiendes cómo el valor de kth en la enésima fila del Triángulo de Pascal es el coeficiente de kth de (x + y) ^ n, y quieres saber cómo ese valor podría ser igual a nCk, la cantidad de formas de elegir k objetos de un conjunto de n. En otras palabras, ¿qué pasa con la fórmula binomial?
Veamos un ejemplo fijo, n = 5 yk = 2. El Triángulo de Pascal te dice que el coeficiente frente a x ^ 2y ^ 3 en (x + y) ^ 5 es 10. ¿Pero por qué?
Imagina que no conoces este truco. ¿Qué harías? Bueno, puede intentar expandirse (x + y) ^ 5:
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- Si [matemática] x ^ 3 + x ^ 2 + xy + x + y + 2 = 0 [/ matemática] y [matemática] y ^ 3-y ^ 2 + 3y-x = 0 [/ matemática] ¿qué es [matemática ] xy [/ matemáticas]?
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(x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y)
Muy bien tiempo para comenzar a multiplicar! Estoy bromeando, por supuesto. Tal vez en lugar de multiplicarlo todo, podamos hacer un truco furtivo para ver solo los términos que nos interesan, el x ^ 2y ^ 3.
¿Cómo se multiplica para obtener x ^ 2y ^ 3? Bueno, necesitarás dos x y tres y. Tal vez tomo las dos x de los dos primeros términos (x + y). O tal vez los tomo del segundo y tercer lugar. Tal vez lo tomo de la primera y la última.
Desea elegir dos de los cinco términos (x + y) para obtener x. ¿De cuántas maneras puedes hacer esto? 5C2, o exactamente 5! / 2! 3!
Algunas preguntas adicionales recomendadas, para solidificar realmente su comprensión de este fantástico triángulo:
- Encuentra un patrón en la suma de los números en una fila del triángulo. ¿Por qué es esto cierto?
- El Triángulo de Pascal también se puede construir aritméticamente, es decir, poner 1s a la izquierda y a la derecha, luego cada valor es igual a la suma de los dos por encima. ¿Por qué nCk tiene esta propiedad? En otras palabras, muestre por qué nCk = (n-1) Ck + (n-1) C (k-1).
Estas preguntas no requieren matemáticas complicadas para resolverlas. Se trata de conectar diferentes situaciones y formas de contar. Describiré soluciones y sugerencias en los comentarios.
