¿Por qué la prueba teórica de conjuntos (especialmente la de Russell y Whitehead) de que 1 + 1 = 2 es tan larga y cuál es un esquema básico?

W&R nunca se propuso probar 1 + 1 = 2. Las matemáticas ordinarias son en realidad su punto de partida. En palabras de W&R, “el alcance de las matemáticas se amplía tanto por la adición de nuevas asignaturas como por una extensión hacia atrás en las provincias hasta ahora abandonadas a la filosofía”. *

PM funciona al revés; el que no se da cuenta de esto no tiene la primera pista de qué se trata la filosofía matemática.

Cuanto más atrás se extiende PM, más tiempo parece “probar” 1 + 1 = 2. La segunda edición se remonta aún más al sustituir el golpe de Sheffer por negación y disyunción. Ser largo es un logro, no un inconveniente. Si le preguntas a un arqueólogo por qué su libro en los albores de la civilización es mucho más largo que el de sus compañeros, probablemente diría, “porque puedo rastrear más atrás”.

Además, la razón para creer cualquier teoría sobre los principios de las matemáticas debe ser inductiva:

En matemáticas, el mayor grado de evidencia propia generalmente no se encuentra al principio, sino en algún momento posterior; Por lo tanto, las deducciones tempranas, hasta que lleguen a este punto, dan razones más bien para creer las premisas porque las verdaderas consecuencias se derivan de ellas, que para creer las consecuencias porque se siguen de las premisas.

En otras palabras, 1 + 1 = 2 para PM es experiencia para las teorías científicas: cualquier teoría que no contradiga lo que es evidente es válida.

Para un breve resumen, consulte http://math.stackexchange.com/a/ …

* Fuente: Whitehead y Russell. Principia Mathematica. Libros mercantes, 1910

La prueba de Russell y Whitehead es tan larga porque sus definiciones (incluida la elección de antecedentes de las reglas de inferencia) no son adecuadas para la tarea en cuestión. Dicho esto, no es tan largo como crees.

En pocas palabras, Russell y Whitehead definieron 1 como la colección de conjuntos con precisamente un elemento (es decir, tener algún elemento y ningún otro), definieron 2 como la colección de conjuntos con exactamente dos elementos (es decir, tener algún elemento y algunos otro elemento distinto de ese, y ningún otro), definió los números cardinales en general de la misma manera, y en consecuencia definió la suma de modo que x + y = z solo en caso de la unión de dos conjuntos disjuntos, uno extraído de xy el otro extraído de y, siempre está en z.

El esquema de su argumento para 1 + 1 = 2, entonces, es que si se nos dan conjuntos disjuntos A y B, ambos extraídos de 1, (es decir, si se nos dan conjuntos disjuntos {a} y {b}), entonces su unión contiene el elemento único en A y el elemento único distinto en B y ningún otro (es decir, su unión es {a, b}, con a y b distintos porque {a} y {b} eran disjuntos); por lo tanto, la unión se extrae de 2.

El argumento se vuelve mucho más largo si decide contar todos los pequeños pasos de prueba que deben seguir en su sistema antes de que les permita decir cosas como “Si A = {a} y B = {b}, y {a} y { b} son disjuntos, entonces A y B son disjuntos “.

Todo esto funciona, para sus propósitos particulares. Pero tampoco hay nada de malo en simplemente definir 2 como 1 + 1, si lo desea. No hay razón para que esto tenga que establecerse mediante una larga discusión. Para el caso, cuando aprende todo el resto de la aritmética cuando era niño, lo aprende perfectamente bien; No hay un hueco que luego se pueda enchufar para lograr una solidez lógica. Toda esta molestia es solo una traducción a otro sistema formal arbitrario que algunas personas encontraron interesante por alguna razón, no el rigor previamente desconocido que finalmente pone las cosas sobre una base firme.

¿Por qué 1 + 1 = 2 tomó Russell y Whitehead 300 páginas? tiene discusión:

“En realidad, no estaban tratando de demostrar eso, sino de definir y demostrar toda la matemática basada solo en la negación y la conjunción, y de tal manera que ni siquiera se tiene un universo de discurso”.

“La analogía correcta para entender R&W sería un libro sobre organización de computadoras que pasó cientos de páginas exponiendo minuciosamente una arquitectura de computadora específica, y que solo en la página 300 (o Volumen II, o lo que sea) estaba listo para explicar qué calculaba un programa simple 1 + 1 = 2 funcionaría cuando se compila “.

Hay muchas otras construcciones de números a partir de conjuntos, uno de los más generales son los números surrealistas.

Los números naturales se definen en términos de conjuntos:
0: = {} (el conjunto vacío)
1: = {{}} (un conjunto que contiene el conjunto vacío) así que 1: = {0}.
2: = {{}, {{}}} = {0, 1}
3: = {0, 1, 2}
y así.

Por lo tanto, todos los números se definen hasta el infinito. (En términos generales, este es el famoso “axioma del infinito” según lo postulado por Zermelo y Fraenkel).

El acto de agregar uno a un número es crear un nuevo conjunto a partir de ese número:
n + 1: = {n U {n}}
donde U es el “operador de la unión”.

Entonces probar 1 + 1 = 2 no es más que mostrar que 2 = {1 U {1}}.