Ecuaciones funcionales
Las ecuaciones funcionales son ecuaciones que involucran una función y variables donde la función es desconocida y se supone que las ecuaciones se mantienen para todos los valores de las variables. A menudo solo se consideran las funciones continuas.
La ecuación funcional más conocida es la ecuación funcional de Cauchy.
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[matemáticas] f (x + y) = f (x) + f (y) [/ matemáticas].
El problema para tal ecuación es encontrar todas las funciones que satisfacen la ecuación, o más comúnmente, encontrar todas las funciones continuas. Para la ecuación de Cauchy, las soluciones continuas son funciones lineales de la forma [matemática] f (x) = cx [/ matemática] para una constante arbitraria [matemática] c [/ matemática].
Las aplicaciones de ecuaciones funcionales son muy especializadas.
Ecuaciones diferenciales
Por otro lado, hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales y son muy importantes. Una ecuación diferencial difiere de una ecuación funcional en que no solo aparece una función desconocida en la ecuación, sino que sus derivadas también pueden aparecer en la ecuación.
La ecuación diferencial más importante es la ecuación diferencial exponencial
[matemáticas] f ‘(x) = kf (x) [/ matemáticas]
donde [math] k [/ math] es una constante. El problema es encontrar todas las funciones [matemáticas] f [/ matemáticas] cuya derivada [matemáticas] f ‘[/ matemáticas] es proporcional a [matemáticas] f [/ matemáticas] donde [matemáticas] k [/ matemáticas] es la constante de proporcionalidad. Las soluciones son las funciones exponenciales de la forma [matemática] f (x) = Ae ^ {kx} [/ matemática] donde [matemática] A [/ matemática] es una constante arbitraria. Esta ecuación diferencial y sus soluciones son importantes para modelar el crecimiento exponencial, la desintegración radiactiva, el interés compuesto continuo, la ley de enfriamiento de Newton y muchas otras cosas.
Debido a que las ecuaciones diferenciales son mucho más importantes que las ecuaciones funcionales, las ecuaciones diferenciales se enseñan en la universidad.
