¿Cómo se prueba esta igualdad [matemáticas] \ sum ^ {2n} _ {k = n} \ binom {k} {n} 2 ^ {2n-k} = 4 ^ n [/ matemáticas]?

Me tomó un tiempo pero pude encontrar una linda prueba combinatoria de esta identidad.

Imagine una fila que consta de [matemáticas] 2n + 1 [/ matemáticas] celdas. Desea colorear cada uno de ellos en blanco o negro. ¿De cuántas maneras se puede hacer?

Una forma de contar las posibilidades es hacerlo directamente: hay dos posibilidades para cada celda, por lo tanto, hay [matemáticas] 2 ^ {2n + 1} [/ matemáticas] posibilidades para toda la fila.

La otra forma de contar será más complicada. Imagina que ya tienes un colorante. Mire las celdas de izquierda a derecha y haga un seguimiento de cuántas celdas blancas y cuántas negras ya vio. Deténgase una vez que uno de esos recuentos llegue a [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas]. Deje que [math] k [/ math] sea el número de celdas que examinó antes de esa última celda. (Tenga en cuenta que de esas celdas [matemáticas] k [/ matemáticas] exactamente [matemáticas] n [/ matemáticas] tienen el mismo color que la celda que examinó por última vez).

Ahora dividamos todos los colores posibles en cubos de acuerdo con [math] k [/ math] y cuentemos los colores en cada cubo por separado.

Para una [matemática] k [/ matemática] fija (que obviamente está entre [matemática] n [/ matemática] y [matemática] 2n [/ matemática], inclusive), tenemos:

2 posibilidades para el color que alcanza [matemática] n + 1 [/ matemática] primero
[matemática] k \ elegir n [/ matemática] formas de elegir qué [matemática] n [/ matemática] de las celdas [matemática] k [/ matemática] que examinamos antes de que la última tenga el mismo color que la última que examinamos
[matemáticas] 2 ^ {2n-k} [/ matemáticas] formas de elegir colores para las celdas que no pudimos examinar

Esto nos da el siguiente resultado:
[matemáticas] \ sum_ {k = n} ^ {2n} \ binom {k} {n} 2 ^ {2n-k + 1} = 2 ^ {2n + 1} [/ matemáticas]

Divide ambos lados entre 2 para obtener la identidad deseada.

Combinatoriamatemáticamatemática discreta

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Si [matemática] x + y = 1 [/ matemática] y [matemática] 0.7x + 0.23y = 0.51 [/ matemática], ¿cuáles son los valores de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática ]?

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Usaré la fórmula binomial [matemáticas] \ large {\ binom {n} {k} = \ binom {n} {nk}, \, \, \ binom {n} {k} = \ binom {n-1} { k} + \ binom {n-1} {k-1}} [/ math] para probar [matemáticas] \ large {\ sum_ {k = n} ^ {2n} \ binom {k} {n} 2 ^ { 2n-k} = 4 ^ n = (1 + 1) ^ {2n} = \ sum_ {k = 0} ^ {2n} \ binom {2n} {k}} [/ math]

Primero hacemos ejercicio con [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas],
[matemática] \ grande {\ sum_ {k = 0} ^ {4} \ binom {4} {k} = \ binom {4} {0} + \ binom {4} {1} + \ binom {4} { 2} + \ binom {4} {3} + \ binom {4} {4}} [/ matemáticas]
[matemática] \ grande {= 2 \ binom {4} {4} + 2 \ binom {4} {3} + \ binom {4} {2}} [/ matemática] (aplicando [matemática] \ grande {\ binom {n} {k} = \ binom {n} {nk}} [/ math])
[matemáticas] \ grande {= 2 \ binom {3} {3} + 2 \ binom {3} {3} + 2 \ binom {3} {2} + \ binom {4} {2}} [/ matemáticas]
(aplicando [matemáticas] \ large {\ binom {n} {k} = \ binom {n-1} {k} + \ binom {n-1} {k-1}} [/ matemáticas] si el índice binomial inferior [ matemáticas] \ gt 2 [/ matemáticas])
[matemática] \ grande {= 4 \ binom {3} {3} + 2 \ binom {3} {2} + \ binom {4} {2}} [/ matemática] (combine los mismos términos binomiales)
[matemáticas] \ large {= 4 \ binom {2} {2} + 2 \ binom {3} {2} + \ binom {4} {2} = \ sum_ {k = 2} ^ {4} \ binom { k} {2} 2 ^ {4-k}} [/ matemáticas].

En general,
[matemáticas] \ large {\ sum_ {k = 0} ^ {2n} \ binom {2n} {k} = \ binom {2n} {0} + \ binom {2n} {1} + \ cdots + \ binom { 2n} {n} + \ cdots + \ binom {2n} {2n-1} + \ binom {2n} {2n}} [/ math]

[matemáticas] \ large {= 2 \ binom {2n} {2n} + 2 \ binom {2n} {2n-1} + \ cdots + 2 \ binom {2n} {n + 2} +2 \ binom {2n} {n + 1} + \ binom {2n} {n}} [/ math]
(aplicando [math] \ large {\ binom {n} {k} = \ binom {n} {nk}} [/ math])

[matemáticas] \ large {= 2 \ binom {2n-1} {2n-1} + 2 \ binom {2n-1} {2n-1} + 2 \ binom {2-1} {2n-2} + \ cdots + 2 \ binom {2n-1} {n + 2} +2 \ binom {2n-1} {n + 1} + 2 \ binom {2n-1} {n + 1} +2 \ binom {2n- 1} {n} + \ binom {2n} {n}} [/ matemáticas]
(aplicando [matemáticas] \ large {\ binom {n} {k} = \ binom {n-1} {k} + \ binom {n-1} {k-1}} [/ matemáticas] si el índice binomial inferior [ matemáticas] \ gt n [/ matemáticas])

[matemáticas] \ large {= 4 \ binom {2n-1} {2n-1} + 4 \ binom {2n-1} {2n-2} + \ cdots + 4 \ binom {2n-1} {n + 2 } +4 \ binom {2n-1} {n + 1} +2 \ binom {2n-1} {n} + \ binom {2n} {n}} [/ matemáticas]
(combine los mismos términos binomiales)

[matemáticas] \ large {= 8 \ binom {2n-2} {2n-2} + 8 \ binom {2n-2} {2n-3} + \ cdots + 8 \ binom {2n-2} {n + 1 } +4 \ binom {2n-2} {n} +2 \ binom {2n-1} {n} + \ binom {2n} {n}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]
[matemáticas] \ large {= 2 ^ {n-1} \ binom {n + 1} {n + 1} + 2 ^ {n-1} \ binom {n + 1} {n + 1} + 2 ^ { n-1} \ binom {n + 1} {n} + \ cdots + 2 ^ 3 \ binom {2n-3} {n} + 2 ^ 2 \ binom {2n-2} {n} +2 \ binom { 2n-1} {n} + \ binom {2n} {n}} [/ math]

[matemáticas] \ large {= 2 ^ {n} \ binom {n} {n} + 2 ^ {n-1} \ binom {n + 1} {n} + \ cdots + 2 ^ 3 \ binom {2n- 3} {n} + 2 ^ 2 \ binom {2n-2} {n} +2 \ binom {2n-1} {n} + \ binom {2n} {n}} [/ matemáticas]

[math] = \ large {\ sum_ {k = n} ^ {2n} \ binom {k} {n} 2 ^ {2n-k}} [/ math].

David Tung

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