Supongamos que queremos expresar una suma cuadrática (número positivo que satisface una ecuación cuadrática) como una fracción continua.
La idea es que siempre queremos obtener la mejor aproximación entera de un resto.
Ilustrar con un ejemplo:
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[matemáticas] x = \ sqrt {7} [/ matemáticas]
Sabemos que 2 <x <3.
[matemáticas] x = 2 + (-2+ \ sqrt {7}) [/ matemáticas]
Racionalizar el número de la segunda parte que obtenemos
[matemáticas] x = 2 + \ frac {1} {\ frac {2+ \ sqrt {7}} {3}} [/ matemáticas]
Por separado, también racionalizando el numerador, calculamos que
[matemáticas] \ frac {2+ \ sqrt {7}} {3} = 1 + \ frac {2} {\ sqrt {7} +1} [/ matemáticas]
y de manera similar que [math] \ frac {1+ \ sqrt {7}} {2} = 1 + \ frac {3} {\ sqrt {7} +1} [/ math]
Al poner todo esto juntos, obtenemos eso
[matemáticas] x = 2 + \ frac {1} {1+ \ frac {1} {\ frac {3} {\ sqrt {7 + 1}}}} [/ matemáticas]
En cualquier etapa del cálculo, x se representa después de k pasos como
[matemáticas] x_k = [x_0; x_1, x_2,…, x_k] [/ matemáticas]
donde todos los valores [math] x_j [/ math] son enteros. Esta es una mano corta para lo siguiente:
[matemáticas] x_3 = x_0 + \ frac {1} {x_1 + \ frac {1} {x_2 + \ frac {1} {x_3}}} [/ matemáticas] Se puede demostrar (no lo haré aquí) que los valores [math] x_k [/ math] son alternativamente más grandes y más pequeños que x y convergen rápidamente a x.
Consulte Wikipedia [1] para obtener más información sobre las fracciones continuas y los convergentes.
Comparando esto con su ejemplo, ha puesto 1 como el valor de todos [math] x_j [/ math] mientras que una mejor política es convertirlo en el valor redondeado del resto
Notas al pie
[1] Fracción continua
