Algunos de los ejemplos más interesantes en topología son en realidad contraejemplos (vea este libro). Aquí hay algunos ejemplos (contra) que podrían surgir en un curso introductorio:
- La curva sinusoidal del topólogo; Esto refuta la afirmación de que todos los espacios conectados están conectados a la ruta.
- Deje que [math] \ mathbb R ^ \ infty [/ math] denote el producto cartesiano infinitamente contable de [math] \ mathbb R [/ math] consigo mismo; entonces la función [math] f: \ mathbb R \ to \ mathbb R ^ \ infty [/ math] dada por [math] f (x) = (x, x, \ dots) [/ math] es continua si [math ] \ mathbb R ^ \ infty [/ math] se le da la topología del producto, pero discontinua si se le da la topología de la caja. Esto ilustra cómo la topología de caja y la topología de producto pueden diferir para productos infinitos, y presenta un argumento convincente de por qué la topología de producto es “mejor” que la topología de caja.
- La topología trivial [math] \ {\ emptyset, X \} [/ math] no es metrizable para ningún conjunto [math] X [/ math] con al menos dos elementos, porque no es un espacio de Hausdorff. Esto muestra que la noción de un espacio topológico es más general que la de un espacio métrico.
- Sea [math] x_1, x_2, \ dots [/ math] una enumeración de [math] \ mathbb Q [/ math], y defina [math] U = \ bigcup_ {i = 1} ^ \ infty (x_i- \ frac 1 {2 ^ {i + 1}}, x_i + \ frac 1 {2 ^ {i + 1}}) [/ math]. Entonces [math] U [/ math] es un conjunto abierto que es denso en [math] \ mathbb R [/ math] (ya que contiene [math] \ mathbb Q [/ math]), pero la medida de [math] U [/ math] es como máximo [math] \ sum_ {i = 1} ^ \ infty \ frac1 {2 ^ {i}} = 1 [/ math]. Esto disipa la intuición de que un conjunto abierto denso en [math] \ mathbb R [/ math] debe ser “casi todo [math] \ mathbb R [/ math]” (por ejemplo, tener un complemento contable o de medida cero).
- El conjunto de Cantor es incontable, totalmente desconectado y tiene una medida cero.
