Supuesto: por “generado aleatoriamente”, quiere decir “extraído independientemente de la distribución uniforme en el alfabeto”.
Teorema: con probabilidad 1, una secuencia [matemática] \ vec s = s_1s_2 \ ldots s_k \ in \ Sigma ^ k [/ math] aparecerá en una cadena de letras independientes uniformemente distribuidas [matemática] S \ in \ Sigma ^ \ omega [/matemáticas].
Prueba: considere [math] S [/ math] como una serie de [math] k [/ math] -grams. La probabilidad de que cualquier [math] k [/ math] -gram sea [math] \ vec s [/ math] es [math] | \ Sigma | ^ {- k} [/ math]; la probabilidad de que ninguno de los primeros [math] n [/ math] -grams sea [math] \ vec s [/ math] es
[matemáticas] \ prod_ {i = 1} ^ n \ text {Pr} (\ text {the} i \ text {th} k \ text {-gram is} \ vec s) [/ math]
[matemáticas] = \ prod_ {i = 1} ^ n | \ Sigma | ^ {- k} = | \ Sigma | ^ {- nk} [/ matemáticas].
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Entonces, como [math] n \ to \ infty [/ math], [math] \ text {Pr} (\ text {none of the} n \ text {first} k \ text {-grams are} \ vec s) \ to0 [/ matemáticas].
Corolario: con probabilidad 1, [math] \ vec s [/ math] aparece un número infinito de veces.