¿Cuál es la solución para esta simple pregunta matemática?

Me gustan estos si esto muestra ese tipo de problemas (mini-pruebas). Ayudan a mejorar las habilidades de manipulación algebraica, ya sea que esté en la escuela primaria, secundaria o universidad. Este es un buen ejemplo. Lo resolveré de dos maneras.

Este primer método implicará usar principalmente la ecuación y luego usar esta ecuación en algún momento para probar la declaración final (es decir, la segunda ecuación).

El segundo método (más interesante) implicará usar esta ecuación, solo, para probar la declaración final.

Método I Representaciones

Veamos esa ecuación.

[matemática] a ^ 3 + \ dfrac {1} {a ^ 3} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática]

En realidad, no puedo comenzar con esta ecuación en su totalidad. ¿Por qué? Porque eso es lo que estoy tratando de mostrar. En cambio, tengo que comenzar con la expresión

[matemáticas] a ^ 3 + \ dfrac {1} {a ^ 3} [/ matemáticas] [matemáticas] \ hspace {.5mm} [/ matemáticas] y de alguna manera milagrosamente terminan en cero. Y así es como respondes la simple pregunta. Entonces,

[matemáticas] \ color {rojo} {a ^ 3 + \ dfrac {1} {a ^ 3}} \ hspace {2mm} [/ math] [math] = [/ math] [math] \ hspace {2mm} \ dfrac {a ^ 3} {1} + \ dfrac {1} {a ^ 3} \ hspace {2mm} [/ math] [math] = [/ math] [math] \ hspace {2mm} \ dfrac {a ^ 6} {a ^ 3} + \ dfrac {1} {a ^ 3} \ hspace {2mm} [/ math] [math] = [/ math] [math] \ hspace {2mm} \ color {orange} {\ dfrac {a ^ 6 + 1} {a ^ 3}} \ hspace {2mm} [/ math] [math] = [/ math] [math] \ hspace {2mm}? [/ math]

se acabó el tiempo:

En este punto, usaré la siguiente fórmula de suma de cubos. Verás por qué más tarde. Sigue leyendo.

[matemática] x ^ 3 + y ^ 3 [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] (x + y) (x ^ 2 -xy + y ^ 2) [/ matemática]

Esta fórmula establece que [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] (x + y) (x ^ 2 -xy + y ^ 2) [/ matemáticas] son equivalentes. Le permite expresar algo de dos maneras diferentes. El de la izquierda está en forma adicional. El de la derecha, en forma factorizada. Sería como decir (tipo de) si tienes [matemáticas] 8 + 4 [/ matemáticas], entonces puedes escribirlo como [matemáticas] (6) (2) [/ matemáticas] -ambas son iguales entre sí, por lo que El cambio es legal. Bien, de vuelta a la solución.

tiempo de espera terminado:

[matemáticas] \ color {naranja} {\ dfrac {a ^ 6 + 1} {a ^ 3}} [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {(a ^ 2) ^ 3 + 1 ^ 3} {a ^ 3} [/ math] [math] = [/ math] usando la suma de cubos da

[matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {(a ^ 2 + 1) (a ^ 4 – a ^ 2 + 1)} {a ^ 3} [/ matemáticas]. [matemáticas] \ hspace {5mm} [/ matemáticas] Pero, ¿qué es [matemáticas] \ hspace {.5mm} [/ matemáticas] [matemáticas] a ^ 4 – a ^ 2 + 1 [/ matemáticas] [matemáticas] \ hspace {.5mm} [/ math] igual a?

Sugerencia: mire la parte superior de esta página, justo después de la palabra if .

Entonces,

[matemáticas] \ dfrac {(a ^ 2 + 1) (a ^ 4 – a ^ 2 + 1)} {a ^ 3} [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {(a ^ 2 + 1) (0)} {a ^ 3} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] \ color {azul} {0} [/ matemática]. [matemáticas] \ hspace {5 mm} [/ matemáticas] Por lo tanto,

[matemática] \ color {rojo} {a ^ 3 + \ dfrac {1} {a ^ 3}} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] \ color {azul} {0} [/ matemática ]

QED

Método II Los opuestos van a cero

Antes de comenzar, un poco de ejercicio. Tome un lápiz y papel y haga lo siguiente. Evalúe [matemáticas] a ^ 4-a ^ 2 + 1 [/ matemáticas] en [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas]. ¿Qué sacas? Deberías obtener [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Esto significa que en la primera ecuación, [matemática] a [/ matemática] no puede ser [matemática] 0 [/ matemática] de lo contrario obtendría una ecuación falsa. Mantén esto en mente. Lo vamos a necesitar un poco más tarde. Ahora, una breve discusión sobre inversos aditivos. Si sabe qué inversos aditivos son, puede saltear la discusión.

Los opuestos van a cero :

¿Qué son los opuestos además? En otras palabras, ¿qué dos números cuando se suman dan cero como resultado? 2 y -2 son una posibilidad porque 2 + -2 = 0. Además,

4 y -4

8 y -8

1/2 y -1/2 [matemática] \ hspace {1mm} [/ matemática] Usted entiende la idea.

Todos estos son opuestos porque, cuando los agrega, obtiene cero. Solo los opuestos van a cero además. Pregunta: ¿Cómo puedes distinguir los opuestos? El signo negativo Es la característica distintiva.

Discusión terminada. Vamos a empezar.

Si lo piensa, una forma de interpretar la pregunta en cuestión es que se le pide que muestre que [matemáticas] a ^ 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {1} {a ^ 3} [/ matemáticas] son opuestos !! ¿Por qué? Mira la ecuación.

[matemática] a ^ 3 + \ dfrac {1} {a ^ 3} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática]

Con las siguientes dos ecuaciones

[matemáticas] a ^ 3 + -a ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] – \ dfrac {1} {a ^ 3} + \ dfrac {1} {a ^ 3} = 0 [/ matemática] [matemática] \ hspace {5mm} [/ matemática] sería claramente obvio que usted tienen opuestos yendo a cero. Con

[matemática] a ^ 3 + \ dfrac {1} {a ^ 3} = 0 [/ matemática] [matemática] \ hspace {2mm} [/ matemática] no lo es.

Si de alguna manera podemos mostrar que [matemática] a ^ 3 [/ matemática] es realmente [matemática] – \ frac {1} {a ^ 3} [/ matemática] disfrazada (recuerde que el signo negativo es la característica distintiva) o [ math] \ frac {1} {a ^ 3} [/ math] es realmente [math] -a ^ 3 [/ math] disfrazado, entonces esa es una manera de demostrar que

[matemática] a ^ 3 + \ dfrac {1} {a ^ 3} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] de hecho [matemática] = [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática]

Estrategia: demostraré que [matemáticas] a ^ 3 [/ matemáticas] es realmente [matemáticas] – \ frac {1} {a ^ 3} [/ matemáticas] usando [matemáticas] a ^ 4-a ^ 2 + 1 = 0 [/ matemática] ecuación dos veces.

La solución del Método II comienza aquí:

[matemáticas] a ^ 4 – a ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] \ dfrac {a ^ 4-a ^ 2 + 1} {a} [/ math] [math] = [/ math] [math] \ dfrac {0} {a } [/ math] [math] \ hspace {2mm} [/ math] [Remember [math] a \ neq 0 [/ math] desde arriba] [math] \ Rightarrow [/ math] [math] a ^ 3 – a + \ dfrac {1} {a} = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] \ hspace {5mm} [/ math] [math] a ^ 3 = a – \ dfrac {1} {a} \ hspace {5mm} [/ math] [math] \ Rightarrow [/ math] [math] \ hspace {5mm} [/ math] [math] a ^ 3 = \ dfrac {a ^ 2} {a} – \ dfrac {1} {a} [/ math]

[math] \ Rightarrow a ^ 3 = \ dfrac {a ^ 2 – 1} {a} [/ math] [math] \ color {orange} {***} [/ math] [math] \ hspace {2mm} [/ matemáticas] [No es exactamente lo que quería terminar. ¡Pero espera! ¡Sostener!]

Echemos otro vistazo a [matemáticas] a ^ 4-a ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]. Esta vez, tomemos una ruta diferente.

[matemáticas] a ^ 4 – a ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica [/ matemática] [matemática] a ^ 2 (\ color {rojo} {a ^ 2 – 1}) + 1 = 0 [/ matemática] [matemática] \ hspace {2mm} [/ matemática] [/ matemática] [ factorizado un [matemáticas] a ^ 2 [/ matemáticas]]

[matemática] \ implica [/ matemática] [matemática] \ color {rojo} {a ^ 2 – 1} = \ dfrac {-1} {a ^ 2} [/ matemática] [matemática] \ hspace {2mm} [/ matemáticas] ¡Esto me va a ayudar! [matemáticas] \ hspace {2mm} [/ matemáticas] [resuelto para [matemáticas] a ^ 2–1 [/ matemáticas]]

Ahora regrese a la ecuación [matemáticas] \ color {naranja} {***} [/ matemáticas].

[matemática] a ^ 3 = \ dfrac {a ^ 2 – 1} {a} [/ matemática] [matemática] \ hspace {5mm} [/ matemática] pero [matemática] \ hspace {2mm} [/ matemática] [matemática ] \ color {rojo} {a ^ 2 – 1} = – \ frac {1} {a ^ 2} [/ matemáticas]. Lo que significa,

[matemática] a ^ 3 = \ dfrac {- \ frac {1} {a ^ 2}} {a} [/ matemática] [matemática] \ hspace {2mm} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [ matemática] \ hspace {2mm} [/ matemática] [matemática] – \ dfrac {1} {a ^ 3} [/ matemática].

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] [matemáticas] \ hspace {2 mm} [/ matemáticas] [matemáticas] a ^ 3 = – \ dfrac {1} {a ^ 3} [/ matemáticas].

Esto muestra que [matemática] a ^ 3 [/ matemática] y [matemática] \ dfrac {1} {a ^ 3} [/ matemática] son verdaderamente opuestos y, por lo tanto, cuando los agrega, es igual a cero.

El fin. (finalmente)

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[matemáticas] a ^ 6 + 1 = (a ^ 2 + 1) (a ^ 4 – a ^ 2 + 1) = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, dividiendo entre [matemáticas] a \ neq 0 [/ matemáticas], [matemáticas] a ^ 3 + \ frac1 {a ^ 3} = 0 [/ matemáticas]

Esta no es la solución, sino simplemente una solución.

Avinash Mishra

* A2A

Recordar que

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) \ tag {*} [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 + \ dfrac {1} {a ^ 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ left (a + \ dfrac {1} {a} \ right) \ left (a ^ 2–1 + \ dfrac {1} {a ^ 2} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ left (a + \ dfrac {1} {a} \ right) \ left (\ dfrac {a ^ 4-a ^ 2 + 1} {a ^ 2} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ left (a + \ dfrac {1} {a} \ right) \ left (\ dfrac {0} {a ^ 2} \ right) [/ math]

[matemática] = 0, [/ matemática] siempre que [matemática] a \ neq 0 [/ matemática]

Mohammad Zulfikar

[matemáticas] a ^ 3 + 1 / a ^ 3 [/ matemáticas] se puede escribir como [matemáticas] (a + 1 / a) (a ^ 2 + 1 / a ^ 2-1) [/ matemáticas] la segunda parte se convierte en [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] a ^ 2 + 1 / a ^ 2-1) [/ matemáticas] [matemáticas] a ^ 4-a ^ 2 + 1 [/ matemáticas] que es 0 … así que se convierte en [matemáticas] a ^ 3 + 1 / a ^ 3 = (a + 1 / a) (0) [/ matemáticas]

Entonces la respuesta es 0

Bob Eckert

Secuencia geométrica:

[matemáticas] a ^ 4 – a ^ 2 +1 = \ frac {1 + a ^ 6} {1 + a ^ 2} = 0 [/ matemáticas] (#)

como a! = 0, ambos dividimos el Numerador y el denominador por [math] a ^ 3: [/ math]

[matemáticas] \ frac {a ^ 3 + \ frac {1} {a ^ 3}} {\ frac {1 + a ^ 2} {a ^ 3}} = 0, [/ matemáticas]

y entonces el numerador tiene que ser 0

****************************************

Alternativamente,

como [matemática] (\ frac {i + 1} {i}) ^ 2 = 0, [/ matemática] sabemos que [matemática] \ frac {i + 1} {i} [/ matemática] debe ser 0,

así que de la fórmula (#) sabemos [matemática] a ^ 6 = -1 [/ matemática], luego [matemática] a ^ 3 = i [/ matemática]

Benjamin Hardisty

Primero, tenga en cuenta que [math] a [/ math] no puede ser 0, porque entonces tendríamos 1 = 0.

A continuación: te animo a que trabajes hacia atrás desde lo que debes mostrar. Tal como está escrito, [matemáticas] a ^ 3 + \ frac {1} {a ^ 3} = 0 [/ matemáticas] no está escrito en una forma polinómica, pero puede reorganizarlo fácilmente en una forma polinómica en la que un exponente algo mayor aparece. Usando su ecuación dada, haga algunas sustituciones para reducir el grado de este polinomio.

Spoiler a continuación.

Reorganicé [matemáticas] a ^ 3 + \ frac {1} {a ^ 3} = 0 [/ matemáticas] en la forma [matemáticas] a ^ 6 + 1 = 0 [/ matemáticas] (multiplicando ambos lados por [matemáticas] ] a ^ 3 [/ matemáticas]).

Si [matemática] a ^ 4-a ^ 2 + 1 = 0 [/ matemática] (como se indica), entonces [matemática] a ^ 4-a ^ 2 = -1 [/ matemática] y [matemática] a ^ 4 = a ^ 2-1 [/ matemáticas]. Esta última ecuación expresa el término de alto grado [matemática] a ^ 4 [/ matemática] en términos de partes de menor grado; Esta es la herramienta que quiero. Escribiré [math] a ^ 6 [/ math] de tal manera que [math] a ^ 4 [/ math] aparezca como un factor, reemplace ese factor con un cuadrático y vea cuándo sucede a continuación.

Tenemos [matemáticas] a ^ 6 = (a ^ 2) (a ^ 4) = (a ^ 2) (a ^ 2–1) = a ^ 4-a ^ 2 = -1 [/ matemáticas].

Como [math] a ^ 6 = –1 [/ math], concluimos que [math] a ^ 6 + 1 = 0 [/ math]. Dividir entre [matemáticas] a ^ 3 [/ matemáticas] (lo que podemos hacer porque [matemáticas] a \ neq 0 [/ matemáticas]) para encontrar que [matemáticas] a ^ 3 + \ frac {1} {a ^ 3} = 1 [/ matemáticas].

Bob Eckert

Primero, diré [matemáticas] A = a ^ 2 [/ matemáticas]

la primera ecuación es ahora [matemáticas] A ^ 2-A + 1 = 0 [/ matemáticas]

vamos a resolver esto

[matemáticas] \ Delta = (- 1) ^ 2–4 * 1 * 1 = 1-4 = -3 [/ matemáticas]

entonces tenemos 2 soluciones complejas para A:

[matemáticas] A1 = \ frac {1 + i \ sqrt {3}} {2} = e ^ {\ frac {i \ pi} {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] A2 = \ frac {1-i \ sqrt {3}} {2} = e ^ {- \ frac {i \ pi} {3}} [/ matemáticas]

entonces tenemos 4 soluciones complejas para:

[matemáticas] a_1 = e ^ {\ frac {i \ pi} {6}} = \ frac {\ sqrt {3} + i} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] a_2 = -a_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a_3 = e ^ {- \ frac {i \ pi} {6}} = \ frac {\ sqrt {3} -i} {2} [/ matemáticas]