¿Cuál es el resto cuando 15 ^ 25 se divide por 35?

15 ^ 25 = 15 × 15 ^ 24 (y 35 = 5 × 7)

= 15 × (14 + 1) ^ 24

(14 + 1) ^ 24 = 14 ^ 24 + 24 × 14 ^ 23 + ……… + 24 × 14 × 1 ^ 23 + 1 ^ 24

significa que cuando 15 ^ 24 dividido por 7 resto es 1

entonces

15 ^ 24 = 7 × n + 1

y

15 × 15 ^ 24 = 15 × (7 × n + 1) = 3 × (35 × n + 5)

= 3 × 35 × n + 15

el resto es 15

Un método no inteligente que simplemente funciona es usar aritmética modular. Diremos [math] a \ equiv b \ pmod c [/ math] como una notación para [math] \ tfrac {ab} c \ in \ Z [/ math]. Asumiremos que se ha comprobado que el módulo de congruencia c (indicado anteriormente) es una relación de equivalencia preservada por suma, resta y multiplicación.

Ahora, podemos calcular que 15 es divisible por 5 bien. Por lo tanto, el resultado, incluido el resto final, debe ser un múltiplo de 5.

Además, en el módulo 7, tenemos que 15 da el resto 1. Entonces, todas las potencias de 15 dan el resto 1, módulo 7.

Bueno, cualquier potencia de 15 será congruente con 15 módulo 35 (Teorema del resto chino o la simple observación de que para cualquier par de restos módulo 5 y módulo 7 obtienes un resultado único módulo 35)

El resultado será 15, no importa cuán alto sea el poder (siempre que sea positivo)

* A2A

Uso del teorema del resto chino

[matemáticas] \ begin {array} {c | c} 35 = 5 \ times7 \\\ hline 15 \ equiv0 \ mod5 & 15 \ equiv1 \ mod7 \\ 15 ^ {25} \ equiv0 \ mod5 & 15 ^ {25} \ equiv1 \ mod7 \\ 15 ^ {25} = 5k, \ text {para} k \ in \ mathbb {Z} y 5k \ equiv1 \ mod 7 \\ & 5k \ equiv15 \ mod7 \\ & k \ equiv3 \ mod7 \\ & k = 7m + 3 \\\ hline 15 ^ {25} = 5k = 5 (7m + 3) \\ 15 ^ {25} = 35m + \ boxed {15} \ end {array} \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto

[matemáticas] 15 ^ {25} \ equiv 15 \ mod 35 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 15 ^ 2 = 225 = 6 * 35 + 15 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] 15 ^ 2 mod 35 \ equiv 15 mod 35 [/ matemáticas]

Del mismo modo [matemáticas] 15 ^ n mod 35 \ equiv 15 ^ {n-2} 15 ^ 2 mod 35 \ equiv 15 ^ {n-2} 15 mod 35 \ equiv 15 ^ {n-1} mod 35 [/ matemáticas]

Esta es una fórmula de reducción y podemos invocarla repetidamente para obtener

[matemáticas] 15 ^ {25} mod 35 = 15 [/ matemáticas]

Aquí vamos,

[matemáticas] \ displaystyle R \ left ({\ frac {{{{15} ^ {25}}}} {{35}}} \ right) =? [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = R \ left ({\ frac {{{{\ left ({3 \ times 5} \ right)} ^ {25}}}} {{5 \ times 7}}} \ right) [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = R \ left ({\ frac {{{3 ^ {25}} \ times {5 ^ {25}}}} {{5 \ times 7}}} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = 5R \ left ({\ frac {{{5 ^ {24}} \ times {3 ^ {25}}}} 7}} \ right) [/ math]

[matemática] \ displaystyle = 5R \ left ({\ frac {{{{\ left ({5 \ times 3} \ right)} ^ {24}} \ times 3}} {7}} \ right) [/ math ]

[math] \ displaystyle = 5R \ left ({\ frac {{{{15} ^ {24}} \ times 3}} {7}} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = 5R \ izquierda ({\ frac {{{1 ^ {24}} \ veces 3}} {7}} \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 5R \ izquierda ({\ frac {3} {7}} \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 5 \ veces 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 15 [/ matemáticas]

Por lo tanto, el resto es [matemáticas] 15 [/ matemáticas].

Para preguntas y respuestas más similares: Preguntas de teoría de números

No necesitamos ninguna teoría o los teoremas de los remanentes chinos de alto nivel …

Simplemente “saque” y luego “devuelva” el factor común “5” en el dividendo y el divisor …

① 15 ^ 25/35

= (15 × 15 ^ 24) / 35

= (3 × 5 × 15 ^ 24) / (7 × 5)

= 3 × 15 ^ 24/7

② 3 × 15 ^ 24

≡ 3 × (2 × 7 + 1) ^ 24

【Tomamos el último término de la expansión binomial ya que todos los términos son múltiplos de 4】

≡ 3 × (1 ^ 24) mod 7

≡ 3 mod 7

③ Reemplazando el factor común “5”,

∵ 3 × (15 ^ 24) ≡ 3 mod 7

∴ 5 × (3 × 15 ^ 24) ≡ (5 × 3) mod (7 × 5)

^15 ^ 25 ≡ 15 mod 35