Hablando en términos prácticos, el teorema de PBW le permite tratar las álgebras de envoltura universal [matemáticas] U (\ mathfrak {g}) [/ matemáticas] como si fueran álgebras polinomiales [matemáticas] S (\ matemáticas] {g}) [/ matemáticas] en muchos situaciones, y dado que sabe mucho sobre cómo trabajar con álgebras polinómicas, esto es muy útil en las pruebas.
Más filosóficamente, puedes pensar en PBW como una prueba análoga del teorema de Cayley para las álgebras de Lie. Una forma de pensar sobre el teorema de Cayley es que te dice que cada grupo es un “grupo concreto”, donde un grupo concreto es un grupo que actúa fielmente por permutaciones en algún conjunto (así es como los matemáticos pensaron en los grupos durante décadas, y esto La perspectiva limitada les impidió reconocer algunos ejemplos extremadamente importantes, como la homología (matemáticas).
A diferencia del caso de los grupos, no está del todo claro qué debería ser un “álgebra de Lie concreta”, pero una propuesta es que un álgebra de Lie concreta debería ser un álgebra de Lie que actúe fielmente mediante transformaciones lineales en algún espacio vectorial. PBW implica que cada álgebra de Lie es un álgebra de Lie concreta en este sentido (ejercicio), aunque curiosamente para un álgebra de Lie de dimensión finita, el espacio vectorial que PBW te da es de dimensión infinita. (La afirmación más fuerte de que puede tomar el espacio vectorial como finito-dimensional es el teorema de Ado)
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También puede pensar en PBW como una forma de pensar en el álgebra envolvente universal [matemáticas] U (\ mathfrak {g}) [/ matemáticas] como el anillo de funciones en un “espacio no conmutativo” (geometría no conmutativa). Es decir, el teorema de PBW puede interpretarse como que dice que [math] U (\ mathfrak {g}) [/ math] es una “deformación no conmutativa” de [math] S (\ mathfrak {g}) [/ math], que puedes interpretar como el álgebra de funciones polinómicas en el dual [math] \ mathfrak {g} ^ {\ ast} [/ math] del álgebra de Lie.
[math] S (\ mathfrak {g}) [/ math] hereda un corchete de Poisson dado al extender el corchete de Lie, por lo que [math] \ mathfrak {g} ^ {\ ast} [/ math] naturalmente tiene la estructura de un Colector de Poisson. Hablando en términos generales, una variedad de Poisson es un “lugar donde puedes hacer mecánica clásica”, pero también es un “lugar donde puedes intentar hacer mecánica cuántica”, y cuando piensas en mecánica cuántica [matemáticas] U (\ mathfrak {g }) [/ math] aparece como una clase natural de observables cuánticos. Pensar en esta relación puede ser muy fructífero; por ejemplo, es una forma de motivar el método de Órbita de Kirillov, que relaciona la geometría de Poisson de [math] \ mathfrak {g} ^ {\ ast} [/ math] con la teoría de representación de [math] U (\ mathfrak {g}) [/matemáticas]. Ver también http://ncatlab.org/nlab/show/def….
