¿Cómo se puede calcular el valor de Phi?

Estoy acostumbrado a Φ ser utilizado para denotar la proporción áurea ( http://en.wikipedia.org/wiki/Gol …), en cuyo caso puede calcularlo con la siguiente fórmula:

[matemáticas] \ phi = \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Dos cantidades están en la proporción áurea si su proporción es igual a la proporción de su suma a la mayor de las dos cantidades.

Ahora, si dejamos que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] [matemática] (b> a) [/ matemática] sean dos cantidades en la proporción áurea, entonces,

[matemáticas] \ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {} [/ math]

La fórmula cuadrática revela que,

[matemáticas] \ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ aprox 1.618 \ tag * {} [/ matemáticas]

(La otra solución da [matemática] \ frac {a} {b} [/ matemática] o [matemática] \ varphi ^ {- 1} [/ matemática] )

Como otros han mencionado, la relación entre dos números consecutivos de Fibonacci también se aproxima a [matemáticas] \ varphi [/ matemáticas].

De hecho, para cualquier secuencia que satisfaga la relación de recurrencia [matemática] ([/ matemática] con valores semilla [matemática] A_0, A_1 [/ matemática] no ambas [matemática] 0 [/ matemática] porque eso se convertiría en una secuencia constante [matemática] )[/matemáticas],

[matemáticas] A_n = A_ {n-1} + A_ {n-2} \ tag * {} [/ matemáticas]

El límite de [math] \ dfrac {A_n} {A_ {n-1}} [/ math] como [math] n \ to 0 [/ math] se acerca a [math] \ varphi [/ math].

Esto se puede probar dejando que [math] L [/ math] sea el límite,

[matemáticas] L = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A_n} {A_ {n-1}} \ tag * {} [/ matemáticas]

Usando la recurrencia,

[matemática] L = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A_ {n-1} + A_ {n-2}} {A_ {n-1}} \ tag * {} [/ math]

[matemática] L = 1 + \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A_ {n-2}} {A_ {n-1}} \ tag * {} [/ matemática]

[matemáticas] L = 1 + \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A_ {n-1}} {A_ {n-2}}} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Nuevamente, multiplicando por [matemáticas] L [/ matemáticas] y usando la fórmula cuadrática puedes mostrar que

[matemáticas] L = \ varphi \ etiqueta * {} [/ matemáticas]