¿Puede probar que si [matemáticas] a \ lt b \ lt c [/ matemáticas] entonces [matemáticas] c + \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}> a + \ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2} [/matemáticas]?

Considere un triángulo en el plano [math] xy [/ math] con vértices

[matemáticas] A = (a, 0) [/ matemáticas]
[matemáticas] B = (0, b) [/ matemáticas]
[matemáticas] C = (c, 0) [/ matemáticas].

Las longitudes laterales son

[matemáticas] | AB | = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] | BC | = \ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] | AC | = c – a [/ matemáticas].

Por la desigualdad del triángulo,

[matemáticas] | BC | \ leq | AB | + | AC | [/matemáticas]

de donde la desigualdad

[matemáticas] a + \ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2} \ leq c + \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]

sigue de inmediato: para que esto sea cierto, solo necesitamos [math] a \ leq c [/ math]. Además, por consideraciones geométricas, la desigualdad es estricta a menos que [matemática] b = 0 [/ matemática], pero en ese caso las desigualdades [matemática] a <0

Aquí hay un texto de Wikipedia, para que mi respuesta no se derrumbe:
En matemáticas, la desigualdad del triángulo establece que para cualquier triángulo, la suma de las longitudes de cualquiera de los dos lados debe ser mayor o igual que la longitud del lado restante. [1] [2] Si x , y y z son las longitudes de los lados del triángulo, sin que ningún lado sea mayor que z , entonces la desigualdad del triángulo establece que
con igualdad solo en el caso degenerado de un triángulo con área cero. En la geometría euclidiana y algunas otras geometrías, la desigualdad del triángulo es un teorema sobre las distancias, y se escribe usando vectores y longitudes (normas) de vectores:

Desigualdad triangular

Me gusta la colorida animación de Jon Bouwman sobre esto.
Mi cerebro solo necesita ver algunos rectángulos y diagonales de tamaño real correspondientes, así que arrojaré mis dos centavos:

El edificio rectangular de una escuela es [matemática] b [/ matemática] de ancho y [matemática] (a + c) [/ matemática] de largo.

Dividen este edificio en dos gimnasios desiguales con una pared común interior compartida de longitud [matemática] b [/ matemática], el ancho del edificio.

El gimnasio más pequeño es [matemático] a [/ matemático] ancho y [matemático] b [/ matemático] largo.
El gimnasio más grande es [matemático] b [/ matemático] ancho y [matemático] c [/ matemático] largo.

Usted, su conducto y / o su cableado deben ir de una esquina de este edificio a la esquina opuesta.
¿Cuál es el camino más corto?

Podrías caminar por todos los bordes, pero eso parece ineficiente.
Claramente, el camino más corto sería en diagonal a través de todo el edificio, en línea recta, pero eso requeriría caminar a través del muro compartido, escalar el techo o las alas.
Sin embargo, puede caminar en diagonal a través de un gimnasio y luego a lo largo del borde del otro gimnasio.

El más largo: caminar a lo largo de los tres bordes (interior o exterior), nunca en diagonal:
[matemáticas] a + b + c [/ matemáticas]

Un camino más corto sería cortar diagonalmente el pequeño gimnasio:
[matemáticas] \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + c [/ matemáticas]

Un camino aún más corto sería cortar el gran gimnasio en diagonal:
[matemáticas] a + \ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2} [/ matemáticas]

El más corto: corte diagonalmente en todo el edificio (ya sea en el aire o en el techo):
[matemáticas] \ sqrt {(a + c) ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]

Comenzaremos con la desigualdad dada y terminaremos con algo razonable al final.

Ahora, ambos lados de la desigualdad son positivos. Entonces, podemos intentar cuadrar ambos lados y probar la desigualdad obtenida.

Por lo tanto, debemos demostrar que, [matemáticas] c ^ 2 + a ^ 2 + b ^ 2 + 2c \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}> a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2a \ sqrt { b ^ 2 + c ^ 2} [/ matemáticas]

Lo que equivale a demostrar que, [matemáticas] c \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}> a \ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2} [/ matemáticas]

Ya que ambos lados son positivos, podemos cuadrar ambos lados, para ver que,

[matemáticas] c ^ 2. (a ^ 2 + b ^ 2)> a ^ 2. (b ^ 2 + c ^ 2) [/ matemáticas]

=> [matemáticas] c ^ 2.b ^ 2> a ^ 2. b ^ 2 [/ matemáticas]

lo cual es cierto como c> a.

(Nota: no hay nada de matemático en comenzar con la desigualdad dada y llegar a algo razonable. Si la desigualdad es la declaración A y la proposición final es la declaración B, entonces aquí A <=> B. Dado que estamos usando el signo de implicación bi, igualmente podemos decir que B => A. Entonces la prueba parece matemática porque comenzamos desde algo elemental como B, y alcanzamos nuestro objetivo de demostrar que A es verdadero. Entonces, podríamos haber comenzado con c> a, y luego haber pasado a [matemáticas] c ^ 2> a ^ 2 [/ matemáticas]. Luego a [matemáticas] c ^ 2.b ^ 2> a ^ 2. b ^ 2 [/ matemáticas]. Luego [matemáticas] c ^ 2. ( a ^ 2 + b ^ 2)> a ^ 2. (b ^ 2 + c ^ 2) [/ matemáticas]. Luego a [matemáticas] 2c \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}> 2a \ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2} [/ matemáticas]. Luego, a [matemáticas] c ^ 2 + a ^ 2 + b ^ 2 + 2c \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}> a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2a \ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2} [/ math]. Finalmente tomamos la raíz cuadrada en ambos lados, ya que ambas raíces cuadradas son positivas. Pero hacerlo de esta manera sería muy poco intuitivo , cómo sabemos qué hacer a continuación y dónde comenzamos. Entonces, lo hice en la dirección inversa, para que la intuición n funciona correctamente.)

Hay varios enfoques, pero la forma más sencilla de mostrar
[matemática] c – a> \ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2} – \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemática] puede ser reescribiendo el lado derecho:
[matemáticas] \ left (\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2} – \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ right) \ cdot \ frac {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2} + \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2} + \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ math]

que es igual a
[matemáticas] \ frac {c ^ 2 – a ^ 2} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2} + \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemáticas] [matemáticas] = (ca) \ cdot \ frac {c + a} {\ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2} + \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ math]

Para mostrar que esto es menor que [math] ca [/ math] (que es positivo), es suficiente para mostrar
[matemáticas] \ sqrt {c ^ 2 + b ^ 2} + \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}> c + a [/ matemáticas]
pero el lado izquierdo es mayor que | c | + | a |