Supongamos que X es cualquier complejo de CW compacto, simplemente conectado, como una esfera [matemática] S ^ n [/ matemática] para [matemática] n> 1 [/ matemática]. Quizás el problema fundamental de la topología algebraica es comprender los grupos de homotopía [matemáticas] \ pi _ * (X) [/ matemáticas]. La teoría de la homotopía cromática es un método fructífero para organizar nuestro conocimiento sobre [matemáticas] \ pi _ * (X) [/ matemáticas].
Por supuesto, [math] \ pi _ * (X) [/ math] es la suma directa de [math] \ pi_n (X) [/ math] para enteros no negativos n. En su tesis, JP Serre demostró que cada uno de estos [math] \ pi_n (X) [/ math] son grupos abelianos finitamente generados. Eso significa que [math] \ pi _ * (X) [/ math] es una suma de un grupo de grupos que se parecen a [math] \ mathbb {Z} [/ math] o [math] \ mathbb {Z} / p ^ m [/ math] para varios primos p.
Averiguar cuántas [math] \ mathbb {Z} [/ math] aparecen es el tema de la teoría de la homotopía racional , y es relativamente fácil. (Sin embargo, todavía puede ser bastante difícil: su peor complejidad es # P-hard).
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Arreglemos un número primo [math] p [/ math] para el resto de la discusión, e intentemos entender cuántos grupos [math] \ mathbb {Z} / p ^ m [/ math] existen en [math] \ pi_ * (X) [/ math] para varios enteros [math] m [/ math].
En primer lugar, cada esfera [matemáticas] S ^ n [/ matemáticas] admite un mapa de grado p [matemáticas] f: S ^ n \ rightarrow S ^ n [/ matemáticas]. Esto induce un mapa [math] f ^ *: \ pi_n (X) \ rightarrow \ pi_n (X) [/ math], llamado multiplicación por p. Podemos dividir los elementos de [math] \ pi_n (X) [/ math] en dos clases:
(1) Los que van a 0 después de aplicar [math] f ^ * [/ math] varias veces.
(2) Aquellos que nunca llegan a ser 0 sin importar cuántas veces apliquemos [math] f ^ * [/ math].
Las cosas en la clase (2) tienen que ver con los [math] \ mathbb {Z} [/ math] ‘s y primos que no son [math] p [/ math], así que ignoremos toda esa basura. Estamos interesados en las cosas de la clase (1), que llamamos [math] p [/ math] -nilpotent. Aquí es donde comienza la teoría de la homotopía cromática.
Resulta que, en los elementos [math] p [/ math] -nilpotent, podemos definir una nueva operación, algo así como la multiplicación por [math] p [/ math] pero más sofisticada. Lo llamamos [math] v_1 [/ math] -multiplication, porque para aquellos que lo saben, su efecto es multiplicarse por algún poder de [math] v_1 [/ math] en la homología de Brown-Peterson. Pero de todos modos, tenemos esta operación, y podemos dividir todos los elementos [math] p [/ math] -nilpotent en [math] \ pi _ * (X) [/ math] en dos grupos:
(1) Los que se convierten en 0 si aplicamos [math] v_1 [/ math] -multiplication varias veces
(2) Aquellos que nunca llegan a ser 0 sin importar cuántas veces apliquemos [matemática] v_1 [/ matemática] -multiplicación
Ahora, las cosas en la clase (1) son quizás un poco más sutiles que las cosas en la clase (2). La teoría K topológica puede detectar las cosas en la clase (2), pero no las cosas en la clase (1). Llamemos a las cosas más sutiles [matemáticas] v_1 [/ matemáticas] -nilpotente, y las cosas menos sutiles [matemáticas] v_1 [/ matemáticas] -periódico.
Podemos seguir adelante. En los elementos [math] v_1 [/ math] -nilpotent podemos definir la multiplicación [math] v_2 [/ math]. En [math] v_2 [/ math] -nilpotent elements podemos definir [math] v_3 [/ math] multiplicación, etc. etc. En cada etapa, dejamos atrás algunos elementos relativamente simples de [math] \ pi _ * ( X) [/ math]: primero los p-periódicos, luego los [math] v_1 [/ math] -periódicos, luego los [math] v_2 [/ math] -periódicos, etc.
Conjeturalmente, todos los elementos de grado suficientemente alto en [math] \ pi _ * (X) [/ math] son [math] v_n [/ math] -periódico para algunos [math] n [/ math]. Esto ya se sabe que es cierto para todos los elementos “estables”, que es un gran problema llamado Teorema de la convergencia cromática.
Los elementos periódicos [math] v_n [/ math] de los grupos de esferas de homotopía admiten patrones sorprendentes vinculados a la teoría de números profundos. Los elementos periódicos [math] v_2 [/ math], por ejemplo, tienen mucho que ver con las curvas elípticas.
