¿Promediar la velocidad usando muchas velocidades instantáneas daría resultados similares a la distancia total en el tiempo?

Sí lo haría. Miremos la pregunta de esta manera. Creo que está familiarizado con el concepto de velocidad que es la derivada del espacio en el tiempo y, por lo tanto, el espacio es la integral de la velocidad.

Ahora, la velocidad promedio viene dada por el espacio total cubierto en el tiempo. Pero mira esto! ¡El espacio total cubierto no es otro que la integral de la velocidad en el tiempo! Básicamente, si tiene un gráfico de velocidad / tiempo, el área debajo del gráfico representa el espacio cubierto. Aquí hay una foto para entenderlo mejor:

No sabes la distancia que recorriste, pero sabes la velocidad que has tenido durante muy poco tiempo. Si multiplica la velocidad y el intervalo de veces para cada uno de los pequeños intervalos, puede aproximar la distancia total que ha recorrido. Al sumar pequeños rectángulos. Básicamente, cuantas más mediciones de velocidad, mejor.

(Si observa la imagen, [matemática] x_m [/ matemática] es el tiempo total de viaje, por lo que [matemática] \ Delta x = \ frac {x_m} {N} [/ matemática] es el tiempo entre las N mediciones para la velocidad que tomaste, suponiendo que sean a intervalos regulares)

Ahora, cuanto más rectángulos, mejor es la aproximación, ¿verdad? Entonces, el área debajo del gráfico, o el espacio total recorrido se aproxima por:

[matemáticas] s_ {total} \ aprox \ sum_ {i = 1} ^ {N} v_i \ Delta t [/ matemáticas]

Donde t es el tiempo y N es el número de mediciones realizadas para las distintas velocidades [matemáticas] v_1 \ ldots v_N [/ matemáticas]. Entonces podemos argumentar que [math] \ Delta t [/ math] es fijo, y luego se puede escribir de la ecuación:

[matemáticas] s_ {total} \ aprox \ Delta t \ sum_ {i = 1} ^ {N} v_i [/ matemáticas]

Al mismo tiempo, el intervalo de tiempo es el tiempo total sobre el número de mediciones ([matemática] \ Delta t = \ frac {t_ {total}} {N} [/ matemática]). Entonces podemos escribir:

[matemáticas] s_ {total} \ aprox \ frac {t_ {total}} {N} \ sum_ {i = 1} ^ {N} v_i [/ matemáticas]

Y traer de vuelta a N:

[matemática] s_ {total} \ aprox t_ {total} \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {N} v_i} {N} [/ matemática]

Luego notamos que [matemáticas] \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {N} v_i} {N} [/ matemáticas] es el promedio de las velocidades que ha medido y obtenemos:

[matemáticas] s_ {total} \ aprox. t_ {total} v_ {estimado} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {s_ {total}} {t_ {total}} \ aprox. v_ {estimado} [/ matemáticas]

[matemáticas] v_ {promedio} \ aprox. v_ {estimado} [/ matemáticas]

Y debo poner énfasis en el hecho de que cuanto más medidas, mayor es la precisión.

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¿Podría alguien que comienza Álgebra I en 6to grado tener la oportunidad de ingresar a UC Berkeley?

Sí lo haría.

El valor que calcula a partir de múltiples mediciones es

[matemáticas] \ frac {1} {t_n-t_1} \ sum_ {i = 1} ^ n v_i \ left (t_i-t_ {i-1} \ right) [/ math]

A medida que aumenta n, se convierte en la suma de Riemann, que es la integral:

[matemáticas] \ frac {1} {t_ {end} -t_ {inicio}} \ int_ {t_ {inicio}} ^ {t_ {end}} {v dt} [/ matemáticas]

ya que v es la derivada de la posición:

[math] \ frac {1} {t_ {end} -t_ {start}} \ int_ {t_ {start}} ^ {t_ {end}} {\ frac {dx} {dt} dt} [/ math]

[math] = \ frac {1} {t_ {end} -t_ {start}} \ int_ {t_ {start}} ^ {t_ {end}} {dx} [/ math]

[math] = \ frac {x_ {end} -x_ {start}} {t_ {end} -t_ {start}} [/ math]

Que es la distancia recorrida dividida por el tiempo.

Tommaso Aschieri

Si. Imaginemos que el automóvil se está moviendo en línea recta y dejemos que la velocidad instantánea se determine cada [math] dt [/ math] segundos durante el viaje. Deje que [matemática] v_ {1} [/ matemática], [matemática] v_ {2} [/ matemática], [matemática]… [/ matemática], [matemática] v_ {n} [/ matemática] sean las velocidades instantáneas que han sido medidos Entonces, la velocidad promedio es igual a [matemáticas] \ displaystyle \ overline {v} = \ frac {v_ {1} + v_ {2} +… + v_ {n}} {n} [/ matemáticas], siendo n el número de velocidades registradas. Si [math] \ displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1} [/ math] es la duración del viaje, entonces [math] \ displaystyle n = \ frac {\ Delta t} {dt} [ /matemáticas]. Entonces, [matemáticas] \ displaystyle \ overline {v} = \ frac {v_ {1} dt + v_ {2} dt +… + v_ {n} dt} {\ Delta t} [/ matemáticas]. Si [math] n \ to \ infty [/ math], el numerador en [math] \ overline {v} [/ math] se convierte en una integral, y [math] \ displaystyle \ overline {v} = \ frac {\ int_ {t_ {2}} ^ {t_ {1}} v dt} {\ Delta t} [/ math]. Entonces, esta es la expresión exacta para la velocidad promedio.

Tommaso Aschieri

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