En lugar de expandirlo por completo, usemos un enfoque diferente.
Primero, manipulamos la integral.
[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 3 (t – 1) ^ 6t ^ 5 \, dt \, \, = \, \, 3 \ displaystyle \ int_0 ^ 1 t ^ 5 (1 – t) ^ 6 \, dt \ tag * {} [/ math]
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Ahora, empleando la definición de Función Beta.
[matemáticas] \ beta (m, n) = \ displaystyle \ int_0 ^ 1 t ^ {m – 1} (1 – t) ^ {n – 1} \, dt \ tag * {} [/ matemáticas]
Comparando esto con nuestra integral.
[matemáticas] 3 \ displaystyle \ int_0 ^ 1 t ^ {6 – 1} (1 – t) ^ {7 – 1} \, dt \ tag * {} = 3 \ cdot \ beta (6,7) [/ matemáticas ]
Finalmente, usamos la relación de la función Beta con la factorial.
[matemáticas] \ begin {align} 3 \ cdot \ beta (6,7) & = 3 \ left [\ dfrac {(6 – 1)! (7 – 1)!} {(6 + 7 – 1)!} \ right] \\ & = 3 \ left [\ dfrac {5! 6!} {12!} \ right] \\ & = 3 \ left [\ dfrac {5! 6!} {12 \ cdot 11 \ cdot 10 \ cdot 9 \ cdot 8 \ cdot 7 \ cdot 6!} \ right] \\ & = 3 \ left [\ dfrac {1} {5544} \ right] \\ & = \ boxed {\ dfrac {1} {1848 }} \ end {align} \ tag * {} [/ math]