Cómo evaluar [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 3 (t – 1) ^ 6t ^ 5 \, dt

En lugar de expandirlo por completo, usemos un enfoque diferente.

Primero, manipulamos la integral.

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 3 (t – 1) ^ 6t ^ 5 \, dt \, \, = \, \, 3 \ displaystyle \ int_0 ^ 1 t ^ 5 (1 – t) ^ 6 \, dt \ tag * {} [/ math]

Ahora, empleando la definición de Función Beta.

[matemáticas] \ beta (m, n) = \ displaystyle \ int_0 ^ 1 t ^ {m – 1} (1 – t) ^ {n – 1} \, dt \ tag * {} [/ matemáticas]

Comparando esto con nuestra integral.

[matemáticas] 3 \ displaystyle \ int_0 ^ 1 t ^ {6 – 1} (1 – t) ^ {7 – 1} \, dt \ tag * {} = 3 \ cdot \ beta (6,7) [/ matemáticas ]

Finalmente, usamos la relación de la función Beta con la factorial.

[matemáticas] \ begin {align} 3 \ cdot \ beta (6,7) & = 3 \ left [\ dfrac {(6 – 1)! (7 – 1)!} {(6 + 7 – 1)!} \ right] \\ & = 3 \ left [\ dfrac {5! 6!} {12!} \ right] \\ & = 3 \ left [\ dfrac {5! 6!} {12 \ cdot 11 \ cdot 10 \ cdot 9 \ cdot 8 \ cdot 7 \ cdot 6!} \ right] \\ & = 3 \ left [\ dfrac {1} {5544} \ right] \\ & = \ boxed {\ dfrac {1} {1848 }} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Esta integral se puede resolver utilizando una función llamada Función Beta. Entonces, para [math] a, b \ in \ mathbb {N} [/ math] tenemos,

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 t ^ a (1-t) ^ b \; dt = \ dfrac {a! b!} {(a + b + 1)!} [/ math]

Usar esto nos da,

[matemáticas] \ displaystyle 3 \ int_0 ^ 1 (t-1) ^ 6 t ^ 5 \; dt = 3 \ dfrac {6! 5!} {12!} = \ Dfrac {1} {1848} [/ matemáticas]

Eso es.

Considerar

[matemáticas] I (n, m) = \ int \ limits_0 ^ 1 (1-t) ^ nt ^ m \ mathrm dt = [/ matemáticas]

[matemática] = \ dfrac1 {m + 1} (1-t) ^ nt ^ {m + 1} \ big | _0 ^ 1 + \ dfrac n {m + 1} \ int \ limits_0 ^ 1 (1-t) ^ {n-1} t ^ {m + 1} \ mathrm dt [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {n} {m + 1} I (n-1, m + 1) [/ matemáticas]

Continuando de esta manera encontramos

[matemáticas] {I (n, m) = \ dfrac {n (n-1)… .2 \ times1} {(m + 1) (m + 2)…. (m + n)} I (0, m + n) = \ dfrac {n! m!} {(m + n)!} I (0, m + n) = \ dfrac {n! m!} {(m + n + 1)!}} [/ matemáticas]

Confío en que tú mismo puedas ocuparte del resto.

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