No soy un experto en análisis funcional, pero aquí hay una razón matemática pura básica. Si [math] V [/ math] es un espacio vectorial de dimensión [math] n [/ math] sobre un campo (digamos, [math] \ mathbb {C} [/ math]), entonces el dual , [math] V ^ * = \ text {Hom} _ {\ mathbb {C}} (V, \ mathbb {C}) [/ math], que consiste en todos los mapas lineales desde [math] V [/ math] en el campo base, también es un espacio vectorial de dimensión [matemática] n [/ matemática]. De hecho, cuando [math] V [/ math] tiene un producto interno, [math] \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle [/ math], hay un isomorfismo explícito [math] V \ rightarrow V ^ * [/ math ] definido enviando [math] v [/ math] a la función [math] \ langle v, \ cdot \ rangle [/ math].
Cuando [math] V [/ math] es de dimensión infinita, este mapa todavía existe, pero no es un isomorfismo. [math] V ^ * [/ math] es, de hecho, mucho más grande (como comprobación de cordura, puede probar un ejemplo eligiendo una base para [math] V [/ math]). Este es un problema, porque muchos de los espacios de productos internos que nos interesan son de dimensión infinita (por ejemplo, el espacio de funciones integrables al cuadrado). Si queremos que nuestro mapa siga siendo un isomorfismo, tendremos que imponer más condiciones sobre qué funciones consideramos [math] V \ rightarrow \ mathbb {C} [/ math].
Bueno, resulta que los espacios de productos internos que nos interesan son típicamente espacios de Hilbert (tienen una métrica definida por el producto interno y están completos; cualquier secuencia de Cauchy bajo esta métrica converge a un límite). Y si además requerimos que las funciones [matemáticas] V \ rightarrow \ mathbb {C} [/ math] sean continuas , ¡entonces resulta que el mapa [math] V \ rightarrow V ^ * [/ math] golpea todo! Restringirnos a funciones continuas parece razonable para aplicaciones prácticas.
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La importancia es que las cosas típicas que pensamos acerca de los espacios vectoriales de dimensiones finitas y los mapas lineales pueden trasladarse a espacios Hilbert de dimensiones infinitas con mapas lineales continuos . Por ejemplo, si un espacio de Hilbert tiene una base [matemática] \ {e_i \} [/ matemática], entonces el dual tiene la base dual , [matemática] \ langle e_i, \ cdot \ rangle [/ matemática] y el espacio de mapas continuos [math] W \ rightarrow V [/ math] es isomorfo a [math] W ^ * \ otimes V [/ math], y así sucesivamente.
