De acuerdo, esta es una explicación intuitiva y poco rigurosa. También es un trabajo en progreso; particularmente, todavía estoy tratando de tener una mejor idea de cómo entender el tensor de Ricci.
El tensor de curvatura de Riemann es una función de dos vectores que multiplica un tercer vector para producir un cuarto: [matemática] R (u, v) w = R ^ {\ rho} _ {\ mu \ nu \ sigma} = dx ^ { \ rho} (R (\ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu}) \ partial _ {\ sigma} [/ math]. Como una transformación lineal, actuará sobre los componentes individuales de un vector general, que entra en La ‘ranura’ exterior.
Si toma un vector tangente básico [matemático] \ parcial _ {\ sigma} [/ matemático] y lo arrastra (en realidad, transporte paralelo) alrededor de un pequeño cuadrado en dirección [matemático] \ parcial _ {\ mu} [/ matemático], luego, en la dirección [matemáticas] \ parcial _ {\ nu} [/ matemáticas], y de regreso alrededor del otro lado del pequeño cuadrado, gira ligeramente. En primer orden, es decir, no debería haber una rotación: el cuadrado se cerrará; es solo el vector transportado en paralelo que no será el mismo al final (este es realmente el requisito de “torsión libre” que usualmente ponemos en la métrica). Pero puede tener una rotación de segundo orden, algo parecido a una segunda derivada. Es el grado en que un cubo hecho de los tres vectores no se cierra si llegas a la esquina opuesta de diferentes maneras. [matemáticas] R (u, v) w [/ matemáticas] es la diferencia entre el resultado de arrastrar w a lo largo de uv o a lo largo de vu. El resultado de arrastrar un vector alrededor del cuadrado es un nuevo vector que difiere del anterior en términos de segundo orden y más altos (segundo orden en el tamaño del cuadrado). El tensor de Riemann, entonces, es algo así como un segundo término en una serie de Taylor sin coordenadas.
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El hecho de que [matemáticas] R (u, v) = – R (v, u) [/ matemáticas] solo significa que dar la vuelta al cuadrado en la dirección opuesta debería tener el efecto contrario; esto tiene sentido, ya que dar vueltas una vez y luego regresar debería volver a donde comenzamos.
La identidad de “Estructura de mentira” [matemática] \ langle R (u, v) w, z \ rangle = – \ langle R (u, v) z, w \ rangle [/ math] se deduce de la observación de que [matemática] \ langle R (u, v) w, w \ rangle = 0 [/ math]. Cuando transportamos en paralelo el vector w alrededor del cuadrado pequeño, obtenemos una versión rotada del vector original. Como tiene la misma magnitud, la rotación infinitesimal se describe completamente mediante un vector ortogonal al original. No importa que esta sea una segunda derivada: R está devolviendo un vector que gira [math] w [/ math], y eso significa que es ortogonal a él. La versión general se encuentra trivialmente considerando [math] \ langle R (u, v) (w + z), w + z \ rangle = 0 [/ math].
La identidad de Bianchi [matemáticas] R (u, v) w + R (v, w) u + R (w, u) v = 0 [/ matemáticas] se entiende de la siguiente manera: dijimos que el tensor de Riemann da la diferencia entre uvw y vuw, pero que las caras planas estaban cerradas. La identidad de Bianchi luego expresa el hecho de que las 6 rutas posibles alrededor del cubo * do * se suman a cero: [math] (uvw-vuw) + (vwu-wvu) + (wuv-vuw) = 0 [/ math]. Considere: una vez que hayamos transportado paralelo w a lo largo de u, podríamos llegar a la esquina arrastrando w a lo largo de v o arrastrando v a lo largo de w, y estos deberían dar el mismo resultado. Eso significaría [math] uvw = uwv = -wuv [/ math], por lo que [math] (uvw + wuv) + (vwu – vuw) + (-wvu -vuw) [/ math] desaparece. La identidad de Bianchi expresa el resultado de que “el transporte paralelo alrededor de todos los lados de un cubo se cancela”. En mi cabeza, esto está asociado con la idea heurística de que, aunque moverse a un punto cercano te da un conjunto de vectores retorcidos y retorcidos en una variedad curva, tiene que estar contorsionado ‘uniformemente’, un giro uniforme alrededor de los ejes de coordenadas. , o algo. (Por cierto, todavía no estoy 100% seguro de esta explicación de la identidad de Bianchi).
El tensor de Ricci es un tensor de rango dos que resulta de contraer una de las direcciones dentro del tensor de Riemann con un vector sobre el que actúa su resultado: [matemática] R _ {\ mu} {\ sigma} = R ^ {\ nu} _ {\ mu \ nu \ sigma} [/ math].
Ahora, contraído en dos índices es algo así como tomar el rastro de la matriz (de hecho lo es, para las matrices). Para las matrices, la traza es la suma de los valores propios, o quizás mejor pensado como el cambio de primer orden en el determinante: cuánto transforma la matriz los volúmenes cuando se aplica infinitesimalmente. Para obtener más índices, podría ser la suma de los valores propios donde cada valor propio es un tensor de 2 índices completo.
[matemática] R _ {\ mu \ sigma} [/ matemática] podría ser “la suma sobre v de la proyección sobre v de la diferencia entre arrastrar sigma hacia abajo uv o vu”. Entonces, utilizando la lógica anterior, si especifica sigma y mu, mide primero ordenar el cambio en el volumen de … bueno, espacio, a medida que avanza en una dirección. El cambio de primer orden en el volumen a lo largo de una dirección T es proporcional a [math] -R _ {\ mu \ nu} T ^ {\ mu} T ^ {\ nu} [/ math].
Para un mundo sin masa, el tensor de Ricci desaparece, dejando solo los 10 grados restantes de libertad en el tensor de Riemann, que aún puede especificar ondas gravitacionales y efectos como ese, si hubiera algo que los causara. Pienso en las ondas como cosas que se conservan en sí mismas, en cierto sentido: van acompañadas de una anulación equivalente, con un resultado neto de 0. El tensor de Ricci es distinto de cero, por otro lado, es algo así como una “convergencia” que es unidireccional: una contracción infinitesimal espacio-tiempo.
El escalar Ricci contrae todo lo demás para obtener un valor único. Es el “cambio de volumen promedio en todas las direcciones”, o mejor dicho: es el factor por el cual se reducirá el volumen de una esfera infinitesimal. La “curva total pasando en un punto”. Sería distinto de cero, por ejemplo, en cualquier lugar de una esfera o en la parte superior de un paraboloide (bueno, sería el más grande en la parte superior), y es proporcional a la curvatura gaussiana de la geometría diferencial 3d clásica.
Cuando el escalar de Ricci es positivo, una esfera tiene un volumen más pequeño que en un espacio plano. Uno podría pensar que esto significa: debido a la curvatura, se cerró “demasiado rápido”. Significaría, por ejemplo, que hay menos área de superficie disponible que [math] 4 \ pi r ^ {2} [/ math] a una distancia de r. En la superficie de una esfera, vería que un círculo ya no tiene una circunferencia de [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] porque se “cierra” demasiado rápido.
Del mismo modo, un escalar de Ricci negativo significa que la variedad es hiperbólica en ese punto y que las esferas o círculos tienen más volumen / área de lo que tendrían en el espacio plano.
