OK, la [matemática] 1.01 [/ matemática] fue una elección realmente desafortunada, así que arreglemos eso y hagámoslo [matemático] 0.99 [/ matemático]. Supongo que lo que quieres preguntar es cuál es la prueba de que la secuencia dada por [math] a_n = 1 – \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ n [/ math] converge a [math] 1 [/ math] y no a algún otro número cercano a [math] 1 [/ math], como [math] 0.99 [/ math].
Primero, demostramos que realmente converge a [math] 1 [/ math]. La definición de la convergencia de una secuencia dice que [math] a_n [/ math] converge al número [math] L [/ math] si por cada [math] \ epsilon> 0 [/ math], debemos tener un [ matemática] N> 0 [/ matemática] tal que [matemática] n> N \ implica | a_n – L | <\ epsilon [/ math]. Para nuestro caso, elija [math] \ displaystyle N = \ lfloor \ log _ {\ frac {1} {2}} {\ epsilon} \ rfloor [/ math]. Entonces, [matemáticas] \ displaystyle \ left | 1 – \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ N – 1 \ right | N, la cantidad dentro del módulo solo puede disminuir. Por lo tanto, hemos demostrado que [math] a_n \ to 1 [/ math] como [math] n \ to \ infty [/ math].
Completemos la respuesta mostrando que [math] a_n [/ math] no converge a [math] 0.99 [/ math]. Este es claramente el caso cuando consideramos cualquier [matemática] \ epsilon 0 [/ matemática] tal que [matemática] n> N \ implica \ displaystyle \ left | 1 – \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ n – 0,99 \ derecha | > \ epsilon [/ math]. Espero que pueda elegir una [matemática] N [/ matemática] basada en una [matemática] \ epsilon [/ matemática] de modo que se cumpla esta condición.
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