Absolutamente puede tener una estructura algebraica con suma y multiplicación (formalmente conocida como anillo) de modo que haya más de dos elementos que satisfagan [matemáticas] x ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. (También podría tener un solo elemento que satisfaga [matemática] x ^ 2 = 1 [/ matemática], pero no lo discutiré aquí).
Ni siquiera es demasiado difícil construir algo como esto: solo considere el conjunto de polinomios reales en [matemáticas] X [/ matemáticas] con la estipulación adicional de que [matemáticas] X ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. Esto consistirá en todo de la forma [matemática] a + bX [/ matemática], donde [matemática] a, b [/ matemática] son números reales. Estos se conocen como los números de complejo dividido. Es evidente que [math] 1, -1, X, -X [/ math] tienen la propiedad deseada.
Sin embargo, cualquier anillo que tenga esta propiedad debe satisfacer otra propiedad: debe existir dos elementos distintos de cero [math] x, y [/ math] de modo que [math] xy = 0 [/ math] (en otras palabras, este anillo no puede ser un dominio integral).
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¿Porqué es eso? Bueno, suponga que hay una [matemática] x \ neq \ pm 1 [/ matemática] con la propiedad que [matemática] x ^ 2 = 1 [/ matemática], y considere los dos elementos [matemática] 1 + x, 1 – x [/ matemáticas]. Ninguno de ellos es cero y, sin embargo, si los multiplica,
[matemática] \ left (1 + x \ right) \ left (1 – x \ right) = 1 – x ^ 2 = 1 – 1 = 0 [/ math].
Esto significa, en particular, que no hay forma de definir la división en tal estructura algebraica.
