La identidad de Euler, [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas], consiste en dividir el círculo unitario en dos . La [matemática] \ pi [/ matemática] se refiere a [matemática] 180 ^ \ circ, [/ matemática] medio círculo. Podríamos escribirlo [matemática] e ^ {2 \ pi i / 2} = – 1 [/ matemática] para mayor claridad porque [matemática] 2 \ pi [/ matemática] es el círculo completo, que explícitamente hemos reducido a la mitad en nuestro expresión.
La proporción áurea está muy relacionada con el pentágono, que proviene de dividir el círculo unitario en cinco . La cantidad relevante es [matemática] e ^ {2 \ pi i / 5}. [/ Matemática]
Si queremos forzarlo, podemos relacionarlos como
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- ¿Cuál es el valor absoluto de [matemáticas] i [/ matemáticas]?
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[matemáticas] (e ^ {i \ pi}) ^ {\ frac 2 5} = e ^ {2 \ pi i / 5} [/ matemáticas]
Por lo general, no lo llamaría [matemáticas] (- 1) ^ {\ frac 2 5} [/ matemáticas] porque considero que esa expresión tiene varios valores, pero algunos autores lo hacen y lo haré en este instante. A dónde nos dirigimos es:
[matemáticas] (- 1) ^ {\ frac 2 5} = (e ^ {i \ pi}) ^ {\ frac 2 5} = e ^ {2 \ pi i / 5} = \ frac {1} {2 \ phi} + i \ sqrt {1 – \ frac {1} {4 \ phi ^ 2}} [/ math]
donde [math] \ phi [/ math] es la proporción áurea.
Como [math] \ frac 1 \ phi = \ phi – 1 [/ math] podemos escribir esto como
[matemáticas] (- 1) ^ {\ frac 2 5} = (e ^ {i \ pi}) ^ {\ frac 2 5} = e ^ {2 \ pi i / 5} = \ frac {1} {2 } (\ phi-1) + i \ sqrt {1 – \ frac {(\ phi-1) ^ 2} {4}} [/ math]
Vamos a calcular [matemáticas] e ^ {2 \ pi i / 5} [/ matemáticas]. La fórmula de Euler nos dice
[matemáticas] e ^ {i 2 \ pi / 5} = \ cos (2 \ pi / 5) + i \ sin (2 \ pi / 5) = \ cos (72 ^ \ circ) + i \ sin (72 ^ \ circ) [/ matemáticas]
Centrémonos en [matemáticas] \ cos 72 ^ \ circ. [/ Matemáticas] Entonces [matemáticas] \ sen 72 ^ \ circ = \ sqrt {1 – \ cos ^ 2 72 ^ \ circ} [/ matemáticas]
Ya he hecho esto varias veces; Seré conciso. [matemáticas] 72 ^ \ circ [/ matemáticas] y todos sus múltiplos satisfacen [matemáticas] \ cos 2 \ theta = \ cos 3 \ theta. [/ matemáticas]
Expandiéndose con las fórmulas de coseno de doble y triple ángulo,
[matemáticas] 2 \ cos ^ 2 \ theta – 1 = 4 \ cos ^ 3 \ theta – 3 \ cos \ theta [/ matemáticas]
O, dejando que [math] x = \ cos \ theta [/ math],
[matemáticas] 2 x ^ 2 – 1 = 4 x ^ 3 – 3 x [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 = 4x ^ 3 – 2x ^ 2 – 3 x + 1 [/ matemáticas]
Como [math] \ theta = 0 [/ math] satifica [math] \ cos 2 \ theta = \ cos 3 \ theta [/ math] obtenemos [math] x = \ cos 0 = 1 [/ math] debe ser un solución a este cúbico, y podemos factorizar:
[matemáticas] 0 = (x-1) (4x ^ 2 + 2x – 1) [/ matemáticas]
La cuadrática tiene soluciones
[matemáticas] x = \ frac 1 4 (-1 \ pm \ sqrt {5}) [/ matemáticas]
La raíz positiva es la que buscamos:
[matemáticas] \ cos 72 ^ \ circ = \ frac 1 4 (\ sqrt {5} – 1) [/ matemáticas]
Deje que [math] \ phi = \ frac 1 2 (\ sqrt {5} + 1) [/ math] sea la proporción áurea. Vemos
[matemáticas] \ phi \ cos 72 ^ \ circ = \ frac 1 8 (5 – 1) = \ frac 1 2 [/ matemáticas]
En otras palabras, [matemáticas] \ cos 72 ^ \ circ [/ matemáticas] es [matemáticas] \ frac {1} {2 \ phi}, [/ matemáticas] la mitad del recíproco de la proporción áurea.
La otra raíz es
[matemáticas] \ cos 144 ^ \ circ = \ frac 1 4 (-1 – \ sqrt {5}) [/ matemáticas]
Eso es [matemáticas] – \ frac 1 2 \ phi. [/ Matemáticas] El ángulo suplementario da
[matemáticas] \ cos 36 ^ \ circ = \ frac 1 4 (\ sqrt {5} + 1) [/ matemáticas]
Eso es la mitad de la proporción áurea.
