¿Se puede relacionar la identidad de Euler con la proporción áurea?

La identidad de Euler, [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas], consiste en dividir el círculo unitario en dos . La [matemática] \ pi [/ matemática] se refiere a [matemática] 180 ^ \ circ, [/ matemática] medio círculo. Podríamos escribirlo [matemática] e ^ {2 \ pi i / 2} = – 1 [/ matemática] para mayor claridad porque [matemática] 2 \ pi [/ matemática] es el círculo completo, que explícitamente hemos reducido a la mitad en nuestro expresión.

La proporción áurea está muy relacionada con el pentágono, que proviene de dividir el círculo unitario en cinco . La cantidad relevante es [matemática] e ^ {2 \ pi i / 5}. [/ Matemática]

Si queremos forzarlo, podemos relacionarlos como

[matemáticas] (e ^ {i \ pi}) ^ {\ frac 2 5} = e ^ {2 \ pi i / 5} [/ matemáticas]

Por lo general, no lo llamaría [matemáticas] (- 1) ^ {\ frac 2 5} [/ matemáticas] porque considero que esa expresión tiene varios valores, pero algunos autores lo hacen y lo haré en este instante. A dónde nos dirigimos es:

[matemáticas] (- 1) ^ {\ frac 2 5} = (e ^ {i \ pi}) ^ {\ frac 2 5} = e ^ {2 \ pi i / 5} = \ frac {1} {2 \ phi} + i \ sqrt {1 – \ frac {1} {4 \ phi ^ 2}} [/ math]

donde [math] \ phi [/ math] es la proporción áurea.

Como [math] \ frac 1 \ phi = \ phi – 1 [/ math] podemos escribir esto como

[matemáticas] (- 1) ^ {\ frac 2 5} = (e ^ {i \ pi}) ^ {\ frac 2 5} = e ^ {2 \ pi i / 5} = \ frac {1} {2 } (\ phi-1) + i \ sqrt {1 – \ frac {(\ phi-1) ^ 2} {4}} [/ math]


Vamos a calcular [matemáticas] e ^ {2 \ pi i / 5} [/ matemáticas]. La fórmula de Euler nos dice

[matemáticas] e ^ {i 2 \ pi / 5} = \ cos (2 \ pi / 5) + i \ sin (2 \ pi / 5) = \ cos (72 ^ \ circ) + i \ sin (72 ^ \ circ) [/ matemáticas]

Centrémonos en [matemáticas] \ cos 72 ^ \ circ. [/ Matemáticas] Entonces [matemáticas] \ sen 72 ^ \ circ = \ sqrt {1 – \ cos ^ 2 72 ^ \ circ} [/ matemáticas]

Ya he hecho esto varias veces; Seré conciso. [matemáticas] 72 ^ \ circ [/ matemáticas] y todos sus múltiplos satisfacen [matemáticas] \ cos 2 \ theta = \ cos 3 \ theta. [/ matemáticas]

Expandiéndose con las fórmulas de coseno de doble y triple ángulo,

[matemáticas] 2 \ cos ^ 2 \ theta – 1 = 4 \ cos ^ 3 \ theta – 3 \ cos \ theta [/ matemáticas]

O, dejando que [math] x = \ cos \ theta [/ math],

[matemáticas] 2 x ^ 2 – 1 = 4 x ^ 3 – 3 x [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = 4x ^ 3 – 2x ^ 2 – 3 x + 1 [/ matemáticas]

Como [math] \ theta = 0 [/ math] satifica [math] \ cos 2 \ theta = \ cos 3 \ theta [/ math] obtenemos [math] x = \ cos 0 = 1 [/ math] debe ser un solución a este cúbico, y podemos factorizar:

[matemáticas] 0 = (x-1) (4x ^ 2 + 2x – 1) [/ matemáticas]

La cuadrática tiene soluciones

[matemáticas] x = \ frac 1 4 (-1 \ pm \ sqrt {5}) [/ matemáticas]

La raíz positiva es la que buscamos:

[matemáticas] \ cos 72 ^ \ circ = \ frac 1 4 (\ sqrt {5} – 1) [/ matemáticas]

Deje que [math] \ phi = \ frac 1 2 (\ sqrt {5} + 1) [/ math] sea la proporción áurea. Vemos

[matemáticas] \ phi \ cos 72 ^ \ circ = \ frac 1 8 (5 – 1) = \ frac 1 2 [/ matemáticas]

En otras palabras, [matemáticas] \ cos 72 ^ \ circ [/ matemáticas] es [matemáticas] \ frac {1} {2 \ phi}, [/ matemáticas] la mitad del recíproco de la proporción áurea.

La otra raíz es

[matemáticas] \ cos 144 ^ \ circ = \ frac 1 4 (-1 – \ sqrt {5}) [/ matemáticas]

Eso es [matemáticas] – \ frac 1 2 \ phi. [/ Matemáticas] El ángulo suplementario da

[matemáticas] \ cos 36 ^ \ circ = \ frac 1 4 (\ sqrt {5} + 1) [/ matemáticas]

Eso es la mitad de la proporción áurea.

Por supuesto que puede. Depende de lo que entiendas por relación. Con álgebra muy simple puedes hacer lo siguiente:

Como [math] \ varphi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} [/ math] y [math] e ^ {i \ pi} = -1 [/ math], entonces [math] \ varphi = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {\ left (e ^ {i \ pi} \ right) ^ 2 + \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Otro puede ser [math] \ varphi = \ frac {\ sqrt {5} -e ^ {i \ pi}} {2} [/ math]

Lo ves; puedes relacionar cualquier cosa si quieres.

A2A: puede forzar fácilmente una relación que parece relacionar [matemática] \ phi [/ matemática] con algún poder de [matemática] e ^ {i \ pi} [/ matemática]. Sin embargo, no creo que ninguno de ellos corresponda a una relación profunda y fundamental entre los conceptos relevantes. Es decir, no vas a obtener nuevas ideas de tales relaciones.

Que yo sepa, solo a través de una coincidencia sin sentido.

De e ^ (pi * I) = – 1 obtienes e ^ (pi / 2) = 1 / (i ^ i)

Int (100 / i ^ i) = 481

Int (1000 * ln (PHI)) = 481

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