Agregar una oración indecidible [matemáticas] T [/ matemáticas] como axioma a un sistema formal [matemáticas] F [/ matemáticas] ciertamente cambia la lista de teoremas demostrables por [matemáticas] F [/ matemáticas]: ahora puede probar [matemáticas ] T [/ math], y típicamente muchas otras declaraciones que son consecuencias directas de [math] T [/ math]. En otras palabras, los sistemas [matemática] F [/ matemática] y [matemática] F + T [/ matemática] ciertamente no son equivalentes, y lo mismo es cierto para [matemática] F + \ neg T [/ matemática].
Por supuesto, en situaciones donde se cumple el Teorema de incompletitud de Gödel, los sistemas extendidos [matemática] F + T [/ matemática] y [matemática] F + \ neg T [/ matemática] aún están incompletos, y habrá oraciones nuevas y diferentes que serán indecidible en cualquiera de esos sistemas. Puede seguir agregando esos como axiomas, o su negación, y así sucesivamente.
Por ejemplo, un conjunto natural de candidatos para tales oraciones indecidibles son las oraciones que establecen formalmente que el sistema bajo consideración es consistente. Comenzando con algún sistema [matemático] F [/ matemático] que sea susceptible al Segundo teorema de incompletitud (por ejemplo, Peano Aritmética o ZFC), puede elegir [matemático] T = \ mbox {Con} (F) [/ matemático] y extender [matemática] F [/ matemática] a [matemática] F_1 = F + \ mbox {Con} (F) [/ matemática].
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Este nuevo sistema [math] F_1 [/ math] obviamente prueba que [math] F [/ math] es consistente, lo que lo hace “más poderoso” que [math] F [/ math], pero no prueba que en sí mismo que es consistente. Entonces puede proceder a construir [math] F_2 = F_1 + \ mbox {Con} (F_1) [/ math] y así sucesivamente en [math] F_ \ omega [/ math] y más allá de ordinales cada vez más grandes. Esta secuencia peculiar de teorías cada vez más fuertes se estudia en “Inexhaustibility”, una joya de un libro de Torkel Franzén.
