Creo que se pregunta “¿Cómo puede una función ser continua en un solo punto?”.
Una función [matemática] f [/ matemática] es continua en un solo punto [matemática] x_0 [/ matemática] si al acercarse arbitrariamente a ese punto con el valor ingresado, el valor emitido se está volviendo arbitrario cerca del valor de salida del funcionan allí [matemáticas] f (x_0) [/ matemáticas].
Eso está en un espacio métrico
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[math] \ forall \ epsilon> 0 \ \ exist \ delta [/ math] st [math] d (x, x_0) <\ delta \ \ Rightarrow d (f (x), f (x_0)) <\ epsilon [ /matemáticas].
O, de manera equivalente, la función tiene un límite en el punto y es igual a su límite.
Ahora para un ejemplo de una función que es continua en ninguna parte
[matemáticas] f (x) = \ chi _ {\ Q} (x) = 1: x \ in \ Q \; \ 0: [/ math] de lo contrario
Esa es la función que es una en los racionales, y cero en los irracionales. Esta función no puede ser continua en ningún lado porque los unos y los ceros se agrupan de tal manera que no importa cuán cerca esté, la diferencia de la función no puede ser menor a uno.
Ahora modifiquemos un poco la función anterior multiplicándola por [math] x [/ math]
[matemáticas] f (x) = x \ chi _ {\ Q} (x) = x: x \ in \ Q \; \ 0: [/ math] de lo contrario
Si seleccionamos cualquier valor que no sea cero, el mismo argumento anterior se mantiene, sin embargo, en cero
[matemáticas] f (0) = 0, | f (x) | <x \ Rightarrow [/ math]
[math] \ forall \ epsilon> 0 \ \ exist \ delta [/ math] st [math] d (x, 0) <\ delta \ Rightarrow d (f (x), f (0)) <\ epsilon [/ matemáticas]. [matemáticas] [/ matemáticas] Donde [matemáticas] \ delta <\ epsilon [/ matemáticas]. [matemáticas] [/ matemáticas]
Una vez que tenga la función, puede preguntar dónde es continua. La terminología común es llamar a funciones que son continuas en todas partes funciones continuas. También hay formas de continuidad aún más fuertes que se aplican a la función como un todo, como la continuidad uniforme.
