Una relación de equivalencia ~ en un conjunto S, es una que satisface las siguientes tres propiedades para todas las x, y, z [matemáticas] \ en [/ matemáticas] S:
- Reflexivo: x ~ x
- Simétrico: Si x ~ y entonces y ~ x
- Transitivo: Si x ~ y e y ~ z, entonces x ~ z
Esto es intuitivo para cuando ~ es la relación familiar “=”, sin embargo, hay muchas otras relaciones que satisfacen las propiedades de una relación de equivalencia.
Ex. Módulo de congruencia n. Si n es un número natural, a [math] \ equiv [/ math] b (mod n) si tienen el mismo resto cuando se dividen entre n. Entonces 12 [math] \ equiv [/ math] 7 (mod 5) ya que ambos dejan el resto 2.
Esta relación de equivalencia (congruencia mod n) divide el conjunto, es decir, [math] \ mathbb {Z} [/ math] de forma bastante natural en clases de equivalencia. Si n = 5, dividimos los enteros en 5 clases, aquellas que no dejan resto, cuyo conjunto denotamos por [0], y sus 4 cosets, [0] +1, [0] +2, [0] +3 y [0] +4.
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En un reloj analógico, la medianoche y el mediodía (00/24 y 12) están en la misma clase de equivalencia, aunque son “elementos” separados en el conjunto de horas en un día.
