Cómo usar la fórmula de convergencia para el método Newton-Raphson a mano

Primero calcule la derivada de la función [math] f [/ math] a partir de la cual desea calcular la raíz. Por ejemplo si quieres resolver

[matemáticas] f (x) = x ^ 3 – \ cos (x) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 3 x ^ 2 + \ sin (x) [/ matemáticas]

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Luego intente adivinar un valor aproximado de la raíz, intentaremos con [math] x_0 = 0.5 [/ math]. Luego calcule la iteración usando la fórmula de Newton

[matemáticas] x_n = x_ {n-1} + \ frac {f (x_ {n-1})} {f ‘(x_ {n-1})} [/ matemáticas]

Haciendo un cálculo a mano me sale

[matemáticas]
x_1 = 1.112141637097
[/matemáticas]
[matemáticas]
x_2 = 0.909672693736
[/matemáticas]
[matemáticas]
x_3 = 0.867263818209
[/matemáticas]
[matemáticas]
x_4 = 0.865477135298
[/matemáticas]
[matemáticas]
x_5 = 0.865474033111
[/matemáticas]
[matemáticas]
x_6 = 0.865474033102
[/matemáticas]

En cada paso calcule la aproximación al error

[matemáticas] e_n = | x_n – x_ {n-1} | [/matemáticas]

Y cuando es pequeño, deje de calcular, en nuestro caso [math] x_6 [/ math] es una buena aproximación de la raíz. Todo esto lo puede hacer una computadora, pero aún se puede hacer a mano, aunque es lento.