¿Existe una biyección natural entre los trastornos de longitud n y las permutaciones [math] \ sigma [/ math] de [math] \ {0, 1, \ cdots, n \} [/ math] con las propiedades escritas en los detalles?

Aquí está mi intento final. He eliminado los otros intentos incorrectos (que arrojaron comentarios útiles, gracias por cierto) ya que no quiero que la respuesta ocupe más espacio del necesario, ¡ya es suficiente!

Intentar responder esta pregunta me ha obligado a mirar no solo cómo podemos construir tal permutación sino cómo construimos cualquier permutación. Eventualmente volví a buscar reemplazar las condiciones de posición por las condiciones de adyacencia correctas , sin embargo, tuve que hacer esto de tal manera que pudiera comparar fácilmente los dos enfoques. Al final, opté por usar la herramienta utilizada para contar permutaciones con posiciones restringidas: polinomios de torre. O más precisamente: los “tableros de ajedrez” que se utilizan como una herramienta visual para describir las restricciones.

Como ejemplo, considere la siguiente ubicación de torres que no atacan en el tablero de ajedrez [math] 4 \ times 4 [/ math] que representa la permutación mostrada.

Como puede ver, la torre no debe ser atacante para dar una permutación.

En esta visualización de permutaciones, las alteraciones se representan restringiendo las ubicaciones de las torres para que no estén en la diagonal principal, esto se hace sombreando los cuadrados prohibidos.

De esto podemos ver que 2314 no es un trastorno ya que la torre en la fila 4 ocupa un cuadrado prohibido en el tablero de ajedrez.

Quería representar las permutaciones [math] \ sigma [/ math] restringiendo la adyacencia correcta de los números. Hice esto reemplazando los números de posición en la parte superior con números de la permutación. El tablero de ajedrez me diría qué números estaban justo al lado leyendo las posiciones de torre una fila a la vez comenzando en la fila 1.

Por ejemplo, tome la misma ubicación de torre arriba pero con nuestra nueva interpretación

Tenga en cuenta que las ubicaciones de torre en los cuadrados en la diagonal principal no parecen tener ningún sentido porque le estamos diciendo a un número que esté justo adyacente a sí mismo, esto solo puede tener un significado posible a medida que leemos fila por fila y es que cualquier torre en un cuadrado en la diagonal principal se interpreta como el número de fila que se coloca en el extremo derecho, a excepción de cualquier otro número que ya se haya colocado en el extremo derecho.

Para ilustrar esto, aquí está la interpretación de la ubicación de torre anterior

Observe que a medida que avanzamos fila por fila los números recogen otros números. Una buena imagen para esto es imaginar los números como vagones de trenes numerados conectados entre sí. En nuestro ejemplo, el carro 1 está conectado al carro 3, esta conexión se vuelve fija, de modo que ahora debemos tratar cada aparición de 3 en el tablero de ajedrez como 1–3 y cada aparición de 1 como 1–3. Entonces, cuando el carro 2 se conecta al carro 3, en realidad se conecta con 1–3 para formar 2–1–3. Entonces, cada aparición de 1,2 y 3 en el tablero es ahora 2–1–3. Utilizando la visualización del vagón del tren, incluso podemos interpretar 0 como el “motor del tren” en su posición fija en la parte delantera del tren en el extremo izquierdo.

Como puede ver, es importante que leamos la permutación en el orden especificado: fila por fila y comenzando con la fila 1 .

Ahora, utilizando nuestra segunda interpretación de las ubicaciones de torre en el tablero de ajedrez, podemos oscurecer los cuadrados para crear las condiciones para las permutaciones [math] \ sigma [/ math] de la siguiente manera

El cuadrado oscuro en la fila 4 se puede explicar de la siguiente manera: a medida que avanzamos por las filas recogiendo números, es evidente que en la fila 4 quedará una columna sin usar, esa columna siempre será el número que se coloca más a la izquierda de esos en el tablero (es decir, el número adyacente a la derecha a 0). Por lo tanto, para evitar que 1 esté en la posición 1, debemos oscurecer el cuadrado 1 en la fila 4.

Ahora podemos realizar un ciclo simple de filas para dar el mismo tablero de ajedrez que para los trastornos

Tenga en cuenta que aún debemos comenzar leyendo desde la fila número 1 (segunda fila hacia abajo), luego la fila 2, etc. Cuando lleguemos a la fila número 3, se fijará la última ubicación de la torre en la fila número 4 (fila superior). Tomemos, por ejemplo, la ubicación de la torre

Comenzando con la fila 1 tenemos 1–1, por lo que 1 se coloca como el número más a la derecha

_ _ _ 1

Luego, la fila número 2 tiene 2–4, por lo que el 2–4 va a la izquierda de 1.

Luego, la fila número 3 tiene 3–3, por lo que 3 se coloca como el número más a la derecha, excepto 1

_ _ 3 1

Entonces la fila número 4 tiene 4–2, que en realidad se interpreta como (2–4) – (2–4) ya que 4 es en realidad 2–4 y 2 es en realidad 2–4. Lo que significa que 2–4 se coloca como el más a la derecha, excepto por 1 y 3 que dan la permutación final

2 4 3 1

El mismo tablero de ajedrez tiene una interpretación desordenada si volvemos a etiquetar las filas adecuadamente

Esto es, por la primera interpretación de torres que no atacan en un tablero de ajedrez, la permutación y el desorden

2 1 4 3

de ahí el mapa entre la permutación y el trastorno [matemática] \ sigma [/ matemática]

[matemáticas] (2,4,3,1) \ longleftrightarrow (2,1,4,3) [/ matemáticas]

Para [4] las correspondencias restantes son

[matemáticas] (2,4,1,3) \ longleftrightarrow (4,1,2,3) [/ matemáticas]

[matemáticas] (2,1,4,3) \ longleftrightarrow (3,1,4,2) [/ matemáticas]

[matemáticas] (3,2,1,4) \ longleftrightarrow (3,4,1,2) [/ matemáticas]

[matemáticas] (3,1,4,2) \ longleftrightarrow (4,3,1,2) [/ matemáticas]

[matemáticas] (3,2,4,1) \ longleftrightarrow (3,4,1,2) [/ matemáticas]

[matemáticas] (4,1,3,2) \ longleftrightarrow (4,3,2,1) [/ matemáticas]

[matemáticas] (4,2,1,3) \ longleftrightarrow (3,4,2,1) [/ matemáticas]

[matemáticas] (4,3,2,1) \ longleftrightarrow (2,3,1,4) [/ matemáticas]

Una vez más, no lo he probado, pero parece bastante prometedor. Si todavía está interesado, entonces tal vez le gustaría probarlo. Quizás formalice el método en el lenguaje matemático correcto (si funciona).

Espero que esto ayude.

Mella